Qual das equações abaixo tem como conjunto-solução:
\left[\begin{array}{r} 13 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -1 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 0 \\\\ -7 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -2 \end{array}\right]\right\}
(A) x_{1}+3 x_{2}=3
(B) x_{1}+3 x_{2}=5
(C) x_{1}+3 x_{2}=4
(D) x_{3}+3 x_{4}=-2
(E) x_{3}+3 x_{4}=0
(F) x_{3}+3 x_{4}=0

Passo 1

O conjunto-solução dado é uma reta ou plano afim em \mathbb{R}^4, descrito por
x = \begin{pmatrix}13\\\ -3\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix} + \operatorname{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -7\\\ 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}\Bigr\}.
Queremos encontrar a equação linear da forma \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\alpha_3x_3+\alpha_4x_4=\beta cuja solução seja exatamente esse conjunto. Para isso, basta achar um vetor normal n=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) ortogonal a todos os vetores do span.

Passo 2

Impondo n\cdot d=0 para cada vetor d do span, temos
  1. Para d=(-3,1,0,0):
-3\alpha_1 + 1\alpha_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_2 = 3\,\alpha_1.
  1. Para d=(0,0,-7,0):
-7\alpha_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_3 = 0.
  1. Para d=(0,0,0,-2):
-2\alpha_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_4 = 0.
Portanto o vetor normal, até escala, é n=(1,3,0,0).

Passo 3

A equação do hiperplano é
1\cdot x_1 + 3\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = \beta.
Para encontrar \beta, basta usar o ponto base (13,-3,2,-1):
\beta = 13 + 3\cdot(-3) = 13 - 9 = 4.
Logo a equação é
x_1 + 3x_2 = 4.

Passo 4

Entre as alternativas, a que corresponde a
x_1 + 3x_2 = 4
é a letra (C).

Resposta

(C)

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