Exercício 6. Ache uma base e a dimensão do subespaço vetorial W do espaço vetorial real ( \mathscr{P}(\mathbb{R}),+, \cdot ), que é gerado pelos seguintes polinômios:
{u, v, w}, onde
u(t) \doteq t^{3}+2 t^{2}-2 t+1, \quad v(t) \doteq t^{3}+3 t^{2}-t+4, \quad w(t) \doteq 2 t^{3}+t^{2}-7 t-7, \text { para } t \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço W\subset \mathscr{P}(\mathbb{R}) gerado pelos polinômios
u(t)=t^{3}+2t^{2}-2t+1,\quad v(t)=t^{3}+3t^{2}-t+4,\quad w(t)=2t^{3}+t^{2}-7t-7.
O conteúdo aqui é exame de independência linear em \mathbb{R}^{4} (via vetores de coeficientes) e determinação de base e dimensão.

Passo 2

Escolhemos a base canônica \{t^{3},t^{2},t,1\} e escrevemos cada polinômio como vetor de coeficientes:
u\mapsto (1,2,-2,1),\quad v\mapsto (1,3,-1,4),\quad w\mapsto (2,1,-7,-7).

Passo 3

Verificamos se w\) é combinação linear de \(u\) e \(v\). Buscamos escalares \(a,b\) tais que \[a\,(1,2,-2,1)+b\,(1,3,-1,4)=(2,1,-7,-7).
Isso leva ao sistema
\begin{cases} a+b=2,\\\\ 2a+3b=1,\\\\ -2a-b=-7,\\\ a+4b=-7. \end{cases}
Da primeira equação (b=2-a]. Substituindo na segunda obtemos
2a+3(2-a)=1\implies -a=-5\implies a=5,\quad b=2-5=-3.
As outras duas equações conferem, logo
w=5\,u-3\,v.

Passo 4

Como w depende de u e v, basta verificar que u e v são independentes. De fato, não existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \lambda(1,2,-2,1)=(1,3,-1,4). Logo \{u,v\} é um conjunto independente que gera W.

Resposta

Uma base de W é
\{\,u(t),\,v(t)\},
e a dimensão de W é \dim W=2.

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