Exercício 4. Verificar em cada um dos casos se o subconjunto \mathcal{B} é uma base do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ).
\mathcal{B} \doteq\left\{p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\right\} e V \doteq \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, onde
p_{1}(t) \doteq 1, \quad p_{2}(t) \doteq 1+t, \quad p_{3}(t) \doteq 1-t^{2}, \quad p_{4}(t) \doteq 1-t-t^{2}-t^{3}, \quad \text { para } t \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathcal{B}=\{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\} é base de V=\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}). Lembrando que \dim V=4 e que um subconjunto com 4 vetores em um espaço de dimensão 4 é base se, e somente se, for linearmente independente.

Passo 2

Para testar independência, escrevemos cada p_{i} em relação à base canônica \{1,t,t^{2},t^{3}\}:
p_{1}(t)=1\longrightarrow(1,0,0,0), \quad p_{2}(t)=1+t\longrightarrow(1,1,0,0),
p_{3}(t)=1-t^{2}\longrightarrow(1,0,-1,0), \quad p_{4}(t)=1-t-t^{2}-t^{3}\longrightarrow(1,-1,-1,-1).

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Essa matriz é triangular superior. O determinante de M é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(M) =1 \cdot 1 \cdot (-1)\cdot(-1) =1\neq0.
Como \det(M)\neq0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Tendo 4 vetores independentes em um espaço de dimensão 4, \mathcal{B} forma base de V.

Resposta

Sim, \mathcal{B} é uma base de \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}).

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