Equações acopladas. Analisando equações acopladas da forma
onde e são constantes, podemos querer determinar a relação entre e em vez das soluções individuais , . Para essa finalidade, divida a primeira equação pela segunda para obter
Essa nova equação é homogênea, de modo que podemos resolvê-la pela substituição . Referimo-nos às soluções de (17) como curvas integrais. Determine as curvas integrais para o sistema
Passo 1
O enunciado dá o sistema
com constantes, e pede as curvas integrais, ou seja, as soluções implícitas . Dividindo as equações obtemos
que é homogênea em .
Passo 2
Fazemos a substituição , daí e
Substituindo em resulta
Passo 3
Isolando obtemos
ou seja a equação é separável:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo fazemos frações parciais. Defina
cuja equação tem raízes
Escreve-se
com
Passo 5
Integrando via frações parciais:
e à direita
Igualando e juntando constantes em dá
Passo 6
Voltando a , temos
Como , isto é equivalente a
Mas A+B=beta, logo finalmente as curvas integrais surgem implicitamente como