Equações acopladas. Analisando equações acopladas da forma
& d yd t=a x+b y, & d xd t=alpha x+beta y,
onde a, b, alpha e beta são constantes, podemos querer determinar a relação entre x e y em vez das soluções individuais x(t), y(t). Para essa finalidade, divida a primeira equação pela segunda para obter
d yd x=a x+b yalpha x+beta y
Essa nova equação é homogênea, de modo que podemos resolvê-la pela substituição v=y / x. Referimo-nos às soluções de (17) como curvas integrais. Determine as curvas integrais para o sistema

Passo 1

O enunciado dá o sistema
dydt &= a,x + b,y, dxdt &= alpha,x + beta,y,
com a,b,alpha,beta constantes, e pede as curvas integrais, ou seja, as soluções implícitas y(x). Dividindo as equações obtemos
dydx=a,x + b,yalpha,x + beta,y,
que é homogênea em x,y.

Passo 2

Fazemos a substituição v=y/x, daí y=v,x e
dydx=v + x,dvdx
Substituindo em dydx=(a,x+b,y)/(alpha,x+beta,y) resulta
v + xdvdx = a + b,valpha + beta,v

Passo 3

Isolando dv/dx obtemos
xdvdx =a + b,valpha + beta,v-v =a + (b-alpha),v - beta,v^2alpha + beta,v,
ou seja a equação é separável:
alpha + beta,va + (b-alpha),v - beta,v^2,dv =dxx

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo fazemos frações parciais. Defina
D(v)=a + (b-alpha),v - beta,v^2,
cuja equação D(v)=0 tem raízes
v1,2=b-alphapmraiz(b-alpha)^2+4,a,beta2,beta
Escreve-se
alpha + beta,vD(v) =-Av-v1-Bv-v2,
com
A=alpha+beta,v1v1-v2, B=alpha+beta,v2v2-v1

Passo 5

Integrando via frações parciais:
integralalpha + beta,vD(v),dv =-Aln|v-v1|-Bln|v-v2|+C1,
e à direita
integraldxx=ln|x|+C2
Igualando e juntando constantes em C
-,Aln|v-v1|-Bln|v-v2|=ln|x|+C

Passo 6

Voltando a y/x=v, temos
|v-v1|^-A,|v-v2|^-B=C,|x|
Como v=y/x, isto é equivalente a
l|y-v1xr|^-A,l|y-v2xr|^-B = C,|x|^1-(A+B)
Mas A+B=beta, logo finalmente as curvas integrais surgem implicitamente como
boxed l|y-v1xr|^-alpha+beta v1,v1-v2, ;l|y-v2xr|^-alpha+beta v2,v2-v1, = C;|x|^,1-beta,
onde
v1,2=b-alphapmraiz(b-alpha)^2+4abeta2beta
e C é constante arbitrária.

Resposta

l|y-v1xr|^-alpha+beta v1,v1-v2, ;l|y-v2xr|^-alpha+beta v2,v2-v1, = C;|x|^,1-beta,
com
v1,2=b-alphapmraiz(b-alpha)^2+4abeta2beta

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