Para as equações diferenciais abaixo, desenhe um campo de direções e determine o comportamento de y quando t torna-se muito grande. Se esse comportamento depender do valor inicial y(0), descreva essa dependência.
y^prime=t e^-2 t-2 y

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial e estudar o comportamento de y(t) quando t→∞, vendo se isso depende de y(0). O conteúdo usado será EDO linear de 1º ordem e campo de direções definido por y′ = t e^{−2t} − 2y.

Passo 2

O campo de direções em cada ponto (t,y) tem inclinação dada por
y'=t e^-2t-2y
Para visualizar “na mão”, a gente pode usar algumas isoclinas y′=constante. Por exemplo, a isoclina y′=0 ocorre em
t e^-2t-2y=0
ou seja
y=t e^-2t2
Para t=0, y′=−2y (mesmo que num sistema não forçado); para t>0 moderado, t e^{−2t} tem pico em t=½; para t→∞, t e^{−2t}→0 e y′≈−2y. Assim, as tangentes acima de y=0 tendem a ficar negativas e abaixo de y=0 positivas, empurrando as soluções em direção a y=0.

Passo 3

Para resolver a EDO exatamente, reescrevemos
y'+2y = t e^-2t
O fator integrante é μ(t)=e{∫2dt}=e{2t}. Multiplicando ambos os lados por e^{2t} obtemos
e^2ty'+2e^2ty = t
que é equivalente a
ddtl(y e^2tr) = t
Integrando,
y e^2t = t^22 + C

Passo 4

Isolando y,
y(t) = e^-2tgl(t^22 + Cgr)
Como y(0)=y_0, temos C=y_0.

Passo 5

Para estudar t→∞, note que t^2 e^{-2t}→0 e C e^{-2t}→0. Logo y(t)→0 conforme t→∞, independentemente do valor de y(0).

Resposta

y(t)=e{-2t}\bigl(\tfrac{t2}{2}+y(0)\bigr) ,\Rightarrow, y(t)\to0quandot\to\infty,sem depender dey(0).

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