Para as equações diferenciais abaixo, desenhe um campo de direções e determine o comportamento de
quando
torna-se muito grande. Se esse comportamento depender do valor inicial
, descreva essa dependência.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial e estudar o comportamento de y(t) quando t→∞, vendo se isso depende de y(0). O conteúdo usado será EDO linear de 1º ordem e campo de direções definido por y′ = t e^{−2t} − 2y.
Passo 2
O campo de direções em cada ponto (t,y) tem inclinação dada por
Para visualizar “na mão”, a gente pode usar algumas isoclinas y′=constante. Por exemplo, a isoclina y′=0 ocorre em
ou seja
Para t=0, y′=−2y (mesmo que num sistema não forçado); para t>0 moderado, t e^{−2t} tem pico em t=½; para t→∞, t e^{−2t}→0 e y′≈−2y. Assim, as tangentes acima de y=0 tendem a ficar negativas e abaixo de y=0 positivas, empurrando as soluções em direção a y=0.
Passo 3
Para resolver a EDO exatamente, reescrevemos
O fator integrante é μ(t)=e{∫2dt}=e{2t}. Multiplicando ambos os lados por e^{2t} obtemos
que é equivalente a
Integrando,
Passo 4
Isolando y,
Como y(0)=y_0, temos C=y_0.
Passo 5
Para estudar t→∞, note que t^2 e^{-2t}→0 e C e^{-2t}→0. Logo y(t)→0 conforme t→∞, independentemente do valor de y(0).
Resposta
y(t)=e{-2t}\bigl(\tfrac{t2}{2}+y(0)\bigr) ,\Rightarrow, y(t)\to0quandot\to\infty,sem depender dey(0).