Estude o sinal das seguintes funções. Determine também os intervalos de crescimento e decrescimento das mesmas (através do estudo do sinal da derivada). Use outras técnicas que você preferir, se preciso, para tracar seus gráficos.
Passo 1
Resumo do problema: estudar o sinal e a monotonicidade de
. Para isso vamos encontrar as raízes da função, analisar seu sinal em cada intervalo e estudar o sinal da derivada usando as regras de derivação.
Passo 2
Encontrar as raízes de
: resolvendo
obtemos as raízes
e
.
Passo 3
Estudo do sinal de
: como é um polinômio de grau 2 com coeficiente principal positivo, o gráfico é uma parábola voltada para cima. Testando um ponto em cada intervalo, por exemplo
,
e
, concluímos que
em
e
e
em
.
Passo 4
Derivada de
: aplicando a regra do poder em
, obtemos
. Zero da derivada em
leva a
.
Passo 5
Estudo do sinal de
: para
vale
(função decrescente) e para
vale
(função crescente).
Resposta
A função
é positiva em ((-
Infinity,-2)\cup(1,\infty)) e negativa em
. A derivada é
, que se anula em
. Logo, a função é decrescente em ((-
Infinity,-\tfrac{1}{2})) e crescente em
.