Estude o sinal das seguintes funções. Determine também os intervalos de crescimento e decrescimento das mesmas (através do estudo do sinal da derivada). Use outras técnicas que você preferir, se preciso, para tracar seus gráficos.
y=(x-1)(x+2)

Passo 1

Resumo do problema: estudar o sinal e a monotonicidade de y=(x-1)(x+2). Para isso vamos encontrar as raízes da função, analisar seu sinal em cada intervalo e estudar o sinal da derivada usando as regras de derivação.

Passo 2

Encontrar as raízes de y: resolvendo (x-1)(x+2)=0 obtemos as raízes x=1 e x=-2.

Passo 3

Estudo do sinal de y: como é um polinômio de grau 2 com coeficiente principal positivo, o gráfico é uma parábola voltada para cima. Testando um ponto em cada intervalo, por exemplo x=-3, x=0 e x=2, concluímos que y>0 em (1,infty) e y<0 e (-2,1) em .

Passo 4

Derivada de y: aplicando a regra do poder em y=x^2+x-2, obtemos y'=2x+1. Zero da derivada em 2x+1=0 leva a x=-tfrac12.

Passo 5

Estudo do sinal de y': para x< -tfrac12 vale y'<0 (função decrescente) e para x> -tfrac12 vale y'>0 (função crescente).

Resposta

A função y=(x-1)(x+2) é positiva em ((-
Infinity,-2)\cup(1,\infty)) e negativa em (-2,1). A derivada é y'=2x+1, que se anula em x=-tfrac12. Logo, a função é decrescente em ((-
Infinity,-\tfrac{1}{2})) e crescente em (-tfrac12,infty).

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