Um subconjunto S do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos s in C que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
1 / 2 <=|s-1-j| <= 1

Passo 1

Temos o conjunto S definido por S=sin C:tfrac12<=|s-(1+j)|<=1. O conteúdo é geometria no plano complexo: módulo, discos e anéis. Vamos usar que s:|s-a|=r é o círculo de centro a e raio r, e que desigualdades definem regiões circulares.

Passo 2

A condição tfrac12<=|s-(1+j)|<=1 significa que a distância de s ao ponto 1+j varia entre 1/2 e 1. Geometricamente, isso forma um anel (annulus) centrado em 1+j, com raio interno 1/2 e raio externo 1. Como as desigualdades são não estritas, as fronteiras circulares também fazem parte de S.

Passo 3

No esboço, desenhe o eixo real (horizontal) e imaginário (vertical). Marque o ponto (1,1) como centro. Trace um círculo de raio 1 e outro de raio 1/2 ao redor desse centro. A região entre esses dois círculos, inclusive as circunferências, é o conjunto S.

Passo 4

Para decidir se S é domínio, lembramos que domínio requer que o conjunto seja aberto e conexo. O anel que desenhamos é claramente conexo, mas não é aberto, pois inclui as fronteiras onde |s-(1+j)|=1/2 e |s-(1+j)|=1. Portanto, S não é um domínio. Se alterássemos para 1/2<|s-(1+j)|<1, teríamos um anel aberto, que seria um domínio (aberto e conexo).

Resposta

O conjunto é o anel fechado centrado em 1+j com raios interno 1/2 e externo 1. Ele é conexo, mas não é aberto, logo não é um domínio.

Exercícios relacionados