Um subconjunto
do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos
que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
Passo 1
Temos o conjunto S definido por
. O conteúdo é geometria no plano complexo: módulo, discos e anéis. Vamos usar que
é o círculo de centro
e raio
, e que desigualdades definem regiões circulares.
Passo 2
A condição
significa que a distância de
ao ponto
varia entre
e
. Geometricamente, isso forma um anel (annulus) centrado em
, com raio interno
e raio externo
. Como as desigualdades são não estritas, as fronteiras circulares também fazem parte de
.
Passo 3
No esboço, desenhe o eixo real (horizontal) e imaginário (vertical). Marque o ponto
como centro. Trace um círculo de raio
e outro de raio
ao redor desse centro. A região entre esses dois círculos, inclusive as circunferências, é o conjunto
.
Passo 4
Para decidir se
é domínio, lembramos que domínio requer que o conjunto seja aberto e conexo. O anel que desenhamos é claramente conexo, mas não é aberto, pois inclui as fronteiras onde
e
. Portanto,
não é um domínio. Se alterássemos para
, teríamos um anel aberto, que seria um domínio (aberto e conexo).
Resposta
O conjunto é o anel fechado centrado em
com raios interno
e externo
. Ele é conexo, mas não é aberto, logo não é um domínio.