Em equações diferenciais, define-se a Transformada de Laplace de uma função f por
L(f(t))=integral0^+infty e^-s t f(t) d x
para todo s in R para o qual a integral imprópria seja convergente. Mostrar que L1=1s, s>0.

Passo 1

O enunciado define a Transformada de Laplace de uma função f por
Lf(t) = integral0^+infty e^-s t,f(t),dt
e pede para mostrar que
L1 = 1spara s>0
O conteúdo envolve a definição de transformada de Laplace e a análise de convergência de uma integral imprópria.

Passo 2

Substituindo f(t)=1 na definição, obtemos
L1 = integral0^+infty e^-s t,dt
Para que esta integral imprópria convirja, precisamos que e^-s tto0 quando tto+infty, o que acontece se, e somente se, s>0.

Passo 3

Calculamos a integral usando a antiderivada de e^-s t:
integral e^-s t,dt = -1s,e^-s t
Aplicando o limite impróprio, vem
integral0^+infty e^-s t,dt = limTto+inftyl[-tfrac1se^-s tr]0^T = limTto+inftyl(-tfrac1se^-s T + tfrac1sr) = 1s

Resposta

L1 = 1s,;s>0

Exercícios relacionados