Em equações diferenciais, define-se a Transformada de Laplace de uma função
por
para todo
para o qual a integral imprópria seja convergente. Mostrar que
.
Passo 1
O enunciado define a Transformada de Laplace de uma função
por
e pede para mostrar que
O conteúdo envolve a definição de transformada de Laplace e a análise de convergência de uma integral imprópria.
Passo 2
Substituindo
na definição, obtemos
Para que esta integral imprópria convirja, precisamos que
quando
, o que acontece se, e somente se,
.
Passo 3
Calculamos a integral usando a antiderivada de
:
Aplicando o limite impróprio, vem