Quais das equações diferenciais a seguir possui como solução geral
y=c1 e^2 t+c2 e^-3 t
Escolha uma opção:
y^prime prime-y^prime-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral é y=c1e^2t+c2e^-3t. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Para uma equação homogênea de segunda ordem do tipo y''+ay'+by=0, a solução geral é dada pelas raízes r1 e r2 do polinômio característico r^2+ar+b=0, levando a y=c1e^r1t+c2e^r2t. Aqui queremos r1=2 e r2=-3.

Passo 3

Como r1=2 e r2=-3, o polinômio característico é
(r-2)(r+3)=0
Expandindo temos
r^2 + r - 6 = 0

Passo 4

Portanto, a equação diferencial correspondente é
y'' + y' - 6y = 0

Passo 5

Agora, analisando a opção dada y'' - y' - 6y=0, seu polinômio característico seria r^2 - r - 6=0, com raízes r=3 e r=-2, o que não coincide com 2 e -3.

Resposta

A equação correta cuja solução geral é y=c1e^2t+c2e^-3t é y'' + y' - 6y = 0.

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