Quais das equações diferenciais a seguir possui como solução geral
y=c1 e^2 t+c2 e^-3 t
Escolha uma opção:
2 y^prime prime+5 y^prime+2 y=0

Passo 1

Temos a solução geral y = c1e^2t + c2e^-3t. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a relação entre a forma da solução e a equação característica.

Passo 2

Na teoria de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, se as raízes da equação característica são r1 e r2, a equação diferencial associada é
y'' - (r1+r2)y' + (r1r2)y = 0

Passo 3

Da solução dada extraímos as raízes r1=2 e r2=-3. Assim temos
$$r_{1}+r_{2}=2+(-3)=-1,
$$
r1+r2=2+(-3)=-1,

Passo 4

Substituindo esses valores na forma geral da EDO obtemos
$$y’’ - (-1)y’ + (-6)y = 0,
y'' - (-1)y' + (-6)y = 0, y’’ + y’ - 6y = 0.$$

Passo 5

Comparando com a opção dada 2y'' + 5y' + 2y = 0, vemos que os coeficientes são diferentes, então essa opção não produz a solução desejada. A equação correta é a que encontramos.
Portanto, a equação diferencial cuja solução geral é y = c1e^2t + c2e^-3t é

Resposta

y'' + y' - 6y = 0

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