Nos problemas abaixo, calcule o valor da integral imprópria ou mostre que a integral diverge.
integral3^+infty 1(2 x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral3^+infty 1(2x-1)^2,dx
Isso é um caso de integral imprópria do tipo infinito. Vamos usar a definição de integral imprópria como limite e encontrar a antiderivada de (2x-1)^-2.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite: seja b>3, então
integral3^+infty 1(2x-1)^2,dx =limbto+infty integral3^b 1(2x-1)^2,dx

Passo 3

Para calcular integral (2x-1)^-2,dx, fazemos a substituição
u = 2x-1, du = 2,dx implies dx = du2
Quando x=3, u=5; quando x=b, u=2b-1. Logo
integral3^b dx(2x-1)^2 = 12 integral5^2b-1 u^-2,du = 12 l[-u^-1r]5^2b-1 = 12l(-12b-1+15r)

Passo 4

Agora tomamos o limite bto+infty. Como
limbto+infty 12b-1 = 0,
ficamos com
limbto+infty integral3^b 1(2x-1)^2,dx = 12 cdot 15 = 110

Resposta

110

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