integral sen x1-cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin x1 - cos x dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar algumas técnicas de álgebra e cálculo, como simplificação de expressões trigonométricas e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 1 - cos x. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona 1 - cos x com outras funções trigonométricas:
1 - cos x = 2 sin^2 (x2)
Então, podemos reescrever a integral assim:
integral sin x2 sin^2 (x2) dx = 12 integral sin xsin^2 (x2) dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar sin x usando outra identidade trigonométrica. Sabemos que:
sin x = 2 sin (x2) cos (x2)
Substituindo na integral:
12 integral 2 sin (x2) cos (x2)sin^2 (x2) dx = 12 integral 2 cos (x2)sin (x2) dx
Simplificando os fatores:
integral cos (x2)sin (x2) dx

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja:
u = sin (x2)
Então, a derivada de u em relação a x é:
du = 12 cos (x2) dx implies 2 du = cos (x2) dx
Substituindo na integral:
integral cos (x2)sin (x2) dx = integral 2 duu = 2 integral duu

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural:
2 integral duu = 2 ln |u| + C
Agora, substituímos u de volta para termos de x:
2 ln | sin (x2) | + C

Resposta

A integral integral sin x1 - cos x dx é igual a 2 ln | sin (x2) | + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados