Se
e
são duas soluções linearmente independentes de
e seu Wronskiano é
encontre o valor de
com precisão de duas casas decimais.
Passo 1
Entendendo o Problema
Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que $ y_{1} $ e $ y_{2} $ são duas soluções linearmente independentes dessa equação, e o determinante de Wronskiano $ W(y_{1}, y_{2})(2) = 3 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ W(y_{1}, y_{2})(5) $ com duas casas decimais.
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e propriedades do Wronskiano.
Passo 2
Colocando a Equação na Forma Padrão
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
Para isso, dividimos todos os termos por $ t^{2} $:
Aqui, identificamos:
- $ P(t) = -\frac{2}{t^{2}} $
- $ Q(t) = \frac{3 + t}{t^{2}} $
Passo 3
Entendendo o Wronskiano
O Wronskiano de duas soluções $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é definido como:
Para equações diferenciais de segunda ordem, o Wronskiano satisfaz a seguinte equação diferencial:
No nosso caso:
Passo 4
Resolvendo a Equação Diferencial do Wronskiano
Temos a equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Reescrevemos:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para $ W $:
Podemos escrever $ e^{C} $ como uma nova constante $ C’ $:
Passo 5
Determinação da Constante de Integração
Sabemos que $ W(2) = 3 $. Vamos usar isso para encontrar $ C’ $:
Isolando $ C’ $:
Portanto, a expressão do Wronskiano é:
Passo 6
Calculando $ W(5) $
Agora, substituímos $ t = 5 $ na expressão encontrada:
Calculando $ e^{0.6} $:
Multiplicando por 3:
Arredondando para duas casas decimais: