Se y1 e y2 são duas soluções linearmente independentes de t^2 y^prime prime-2 y^prime+(3+t) y=0 e seu Wronskiano é W(y1, y2)(2)=3 encontre o valor de W(y1, y2)(5) com precisão de duas casas decimais.

Passo 1

Entendendo o Problema
Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
t^2 y'' - 2 y' + (3 + t) y = 0
Sabemos que $ y_{1} $ e $ y_{2} $ são duas soluções linearmente independentes dessa equação, e o determinante de Wronskiano $ W(y_{1}, y_{2})(2) = 3 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ W(y_{1}, y_{2})(5) $ com duas casas decimais.
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e propriedades do Wronskiano.

Passo 2

Colocando a Equação na Forma Padrão
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
Para isso, dividimos todos os termos por $ t^{2} $:
t^2
Aqui, identificamos:
  • $ P(t) = -\frac{2}{t^{2}} $
  • $ Q(t) = \frac{3 + t}{t^{2}} $

Passo 3

Entendendo o Wronskiano
O Wronskiano de duas soluções $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é definido como:
y1
Para equações diferenciais de segunda ordem, o Wronskiano satisfaz a seguinte equação diferencial:
y2
No nosso caso:
W(y1, y2)(t) = y1(t) y2'(t) - y2(t) y1'(t)
W'(t) = -P(t) W(t)

Passo 4

Resolvendo a Equação Diferencial do Wronskiano
Temos a equação:
dWdt = 2t^2 W
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Reescrevemos:
dWW = 2t^2 dt
Integrando ambos os lados:
integral 1W dW = integral 2t^2 dt
ln |W| = -2t + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para $ W $:
C
W
Podemos escrever $ e^{C} $ como uma nova constante $ C’ $:
W = e^-2/t + C

Passo 5

Determinação da Constante de Integração
Sabemos que $ W(2) = 3 $. Vamos usar isso para encontrar $ C’ $:
W(2) = 3
C'
Isolando $ C’ $:
3 = C' e^-2/2
Portanto, a expressão do Wronskiano é:
3 = C' e^-1
C'

Passo 6

Calculando $ W(5) $
Agora, substituímos $ t = 5 $ na expressão encontrada:
W(5)
t = 5
Calculando $ e^{0.6} $:
W(5) = 3 e^1 - 25
Multiplicando por 3:
W(5) = 3 e^0.6
Arredondando para duas casas decimais:
e^0.6

Resposta

W(y1, y2)(5) approx 5.47

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