Equações Diferenciais surgem naturalmente ao tentar descrever a dinâmica do crescimento populacional. Para obter um modelo para tal fenômeno, vamos assumir as condições ideais: meio ambiente ilimitado (muito grande comparado aos indivíduos), nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade a doenças. Nessas circunstâncias, a taxa de crescimento da população em um determinando instante de tempo é proporcional a população naquele mesmo instante. Sendo
tempo (variável independenete) e
número de indivíduos da população no instante
, obtemos que
onde
é uma constante de proporcionalidade.
(a) Classifique a ED acima.
(b) Encontre a solução do PVI:
.
(a) Classifique a ED acima.
(b) Encontre a solução do PVI:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Classificar a equação diferencial dada.
- (b) Resolver o problema de valor inicial (PVI) com condição
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
onde
é a variável independente (tempo),
é o número de indivíduos no instante
e
é uma constante de proporcionalidade. Também foi dito que o ambiente é ideal (isso justifica o modelo), mas a equação acima é a única relação matemática que precisamos usar para resolver o PVI.
Passo 2
Vamos identificar propriedades da equação sem resolver ainda.
- Ordem: a derivada mais alta que aparece é
, ou seja, é uma equação de ordem . - Linearidade: uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
. Aqui podemos escrever , então é linear de primeira ordem com coeficiente constante e lado direito nulo (homogênea). - Homogeneidade: o termo independente é zero (lado direito é
quando escrita como ), portanto é homogênea. - Autônoma: o membro direito
depende apenas de e não de explicitamente, logo é autônoma. - Separável: também é separável porque pode-se rearranjar para termos envolvendo
de um lado e do outro: isso facilita a solução por integração.
Não resolvemos nada ainda — só listamos as características pedidas.
Passo 3
Escolha do método: como a equação é separável (e simples), usamos separação de variáveis — é o método mais direto aqui. A ideia é isolar termos em
com
num lado e termos em
com
no outro, e então integrar.
Partimos de
Assumimos momentaneamente
para poder dividir por
. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
obtemos a forma diferencial:
Aqui usei a interpretação
; esse é o passo padrão em separação de variáveis.
Passo 4
Integramos os dois lados. Lembre que
. Aplicando isso:
A integral do lado esquerdo dá
. A integral do lado direito, como
é constante, dá
. Incluímos a constante de integração
. Assim:
Expliquei:
é uma constante arbitrária de integração que aparecerá sempre que integrarmos indefinidamente.
Passo 5
Isolamos
exponenciando os dois lados. Aplicando a exponencial:
Definindo
(uma constante positiva), obtemos
. Portanto
pode ser
. No contexto de população, esperamos
para todo
, então escolhemos a constante multiplicativa positiva e escrevemos a solução geral apropriada (para populações positivas) como
onde agora
é a constante determinada pela condição inicial. Observação didática: matematicamente a solução geral da EDO é
com
, pois incluiria sinais negativos; mas fisicamente só faz sentido
.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para determinar a constante
.
Substituindo
na solução geral:
Como
, segue que
. Portanto a solução particular do PVI é
Interpretação rápida (útil na prova): se
temos crescimento exponencial; se
temos decaimento exponencial; se
a população permanece constante em
. A unidade de
deve ser o inverso da unidade de
(por exemplo, se
está em anos,
tem unidade
).
Passo 7
Resumo prático do procedimento (como fazer rápido na prova):
- Reconheça que é separável e escreva
. - Integre:
. - Exponencie:
. - Use
para achar .
Isso é suficiente para resolver qualquer PVI do tipo
com uma condição inicial.
Resposta
(a) É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, homogênea, com coeficiente constante; também é autônoma e separável.
(b) .
(b)