Equações Diferenciais surgem naturalmente ao tentar descrever a dinâmica do crescimento populacional. Para obter um modelo para tal fenômeno, vamos assumir as condições ideais: meio ambiente ilimitado (muito grande comparado aos indivíduos), nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade a doenças. Nessas circunstâncias, a taxa de crescimento da população em um determinando instante de tempo é proporcional a população naquele mesmo instante. Sendo t= tempo (variável independenete) e P= número de indivíduos da população no instante t(P=P(t)), obtemos que
\frac{d P}{d t}=k P
onde k é uma constante de proporcionalidade.
(a) Classifique a ED acima.
(b) Encontre a solução do PVI: \frac{d P}{d t}=k P, P(0)=10000.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Classificar a equação diferencial dada.
  2. (b) Resolver o problema de valor inicial (PVI) com condição P(0)=10000.
Informações fornecidas pelo enunciado:
\frac{dP}{dt}=kP,
onde t é a variável independente (tempo), P=P(t) é o número de indivíduos no instante t e k é uma constante de proporcionalidade. Também foi dito que o ambiente é ideal (isso justifica o modelo), mas a equação acima é a única relação matemática que precisamos usar para resolver o PVI.

Passo 2

Vamos identificar propriedades da equação sem resolver ainda.
  • Ordem: a derivada mais alta que aparece é \frac{dP}{dt}, ou seja, é uma equação de ordem 1.
  • Linearidade: uma EDO linear de primeira ordem tem a forma \frac{dP}{dt}+a(t)P=b(t). Aqui podemos escrever \frac{dP}{dt}-kP=0, então é linear de primeira ordem com coeficiente constante e lado direito nulo (homogênea).
  • Homogeneidade: o termo independente é zero (lado direito é 0 quando escrita como \frac{dP}{dt}-kP=0), portanto é homogênea.
  • Autônoma: o membro direito kP depende apenas de P e não de t explicitamente, logo é autônoma.
  • Separável: também é separável porque pode-se rearranjar para termos envolvendo P de um lado e t do outro: isso facilita a solução por integração.
Não resolvemos nada ainda — só listamos as características pedidas.

Passo 3

Escolha do método: como a equação é separável (e simples), usamos separação de variáveis — é o método mais direto aqui. A ideia é isolar termos em P com dP num lado e termos em t com dt no outro, e então integrar.
Partimos de
\frac{dP}{dt}=kP.
Assumimos momentaneamente P(t)\neq 0 para poder dividir por P. Dividindo ambos os lados por P e multiplicando por dt obtemos a forma diferencial:
\frac{1}{P}\,dP = k\,dt.
Aqui usei a interpretação dP = \frac{dP}{dt}dt; esse é o passo padrão em separação de variáveis.

Passo 4

Integramos os dois lados. Lembre que \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. Aplicando isso:
\int \frac{1}{P}\,dP = \int k\,dt.
A integral do lado esquerdo dá \ln|P|. A integral do lado direito, como k é constante, dá kt. Incluímos a constante de integração C. Assim:
\ln|P| = kt + C.
Expliquei: C é uma constante arbitrária de integração que aparecerá sempre que integrarmos indefinidamente.

Passo 5

Isolamos P exponenciando os dois lados. Aplicando a exponencial:
|P| = e^{kt+C} = e^{C} e^{kt}.
Definindo C_1 = e^{C}>0 (uma constante positiva), obtemos |P| = C_1 e^{kt}. Portanto P pode ser P = \pm C_1 e^{kt}. No contexto de população, esperamos P(t)\ge 0 para todo t, então escolhemos a constante multiplicativa positiva e escrevemos a solução geral apropriada (para populações positivas) como
P(t) = C e^{kt},
onde agora C>0 é a constante determinada pela condição inicial. Observação didática: matematicamente a solução geral da EDO é P(t)=C e^{kt} com C\in\mathbb{R}, pois incluiria sinais negativos; mas fisicamente só faz sentido C\ge 0.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial P(0)=10000 para determinar a constante C.
Substituindo t=0 na solução geral:
P(0) = C e^{k\cdot 0} = C e^{0} = C.
Como P(0)=10000, segue que C=10000. Portanto a solução particular do PVI é
P(t)=10000\,e^{kt}.
Interpretação rápida (útil na prova): se k>0 temos crescimento exponencial; se k<0 temos decaimento exponencial; se k=0 a população permanece constante em 10000. A unidade de k deve ser o inverso da unidade de t (por exemplo, se t está em anos, k tem unidade \text{ano}^{-1}).

Passo 7

Resumo prático do procedimento (como fazer rápido na prova):
  1. Reconheça que é separável e escreva \frac{1}{P}\,dP = k\,dt.
  2. Integre: \ln|P| = kt + C.
  3. Exponencie: P(t)=C e^{kt}.
  4. Use P(0) para achar C.
Isso é suficiente para resolver qualquer PVI do tipo \frac{dP}{dt}=kP com uma condição inicial.

Resposta

(a) É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, homogênea, com coeficiente constante; também é autônoma e separável.
(b) P(t)=10000\,e^{kt}.

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