Questão 5(\mathbf{3 , 0}) : Uma empresa de engenharia naval confecciona o casco para um navio cargueiro com o formato abaixo.
Um bom modelo para esse projeto é a reunião de duas peças, sendo \mathcal{S}_{1} o cilindro parabólico z=x^{2},-5 \leq y \leq 0, z \leq 4, unido por \mathcal{S}_{2}, que é o semiparaboloide z=x^{2}+y^{2}, y \geq 0, z \leq 4. Os números estão em uma escala adequada ao projeto.
(b) Em alguns casos, é necessário estudar o contato de partes do casco com a superfície da água, e uma boa maneira de avaliar isso é encontrando o plano tangente à superfície no ponto de interesse. Calcule o plano tangente à superfície em (1,-1,1).

Passo 1

O enunciado fornece duas peças que formam o casco:
\mathcal{S}_1:\\ z = x^{2},\\\ -5 \le y \le 0,\\ z \le 4
\mathcal{S}_2:\\ z = x^{2}+y^{2},\\ y \ge 0,\\ z \le 4
Pede-se: calcular o plano tangente à superfície no ponto (1,-1,1).
Informação importante extraída do enunciado: o ponto (1,-1,1) tem y=-1<0, portanto pertence à peça \mathcal{S}_1, onde a superfície é dada pela equação z=x^{2}. Confirmamos também que z=1 coincide com x^{2}=1, então o ponto está realmente sobre \mathcal{S}_1.

Passo 2

Explicação didática do método a usar (fórmula do plano tangente para gráfico de função):
Se uma superfície é dada como gráfico de uma função \,z=f(x,y)\,, o plano tangente em (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é dado por
z - f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x: mede a taxa de variação de f quando variamos x e mantemos y fixo.
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y: mede a taxa de variação de f quando variamos y e mantemos x fixo.
Intuição simples: o plano tangente é a melhor aproximação linear da superfície perto do ponto; as inclinações nas direções dos eixos x e y são dadas por f_x e f_y.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: sobre \mathcal{S}_1 temos a função
f(x,y)=x^{2}.
Calculamos as derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}x^{2}=0,
pois x^{2} não depende de y.

Passo 4

Avaliaremos as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(1,-1):
f_x(1,-1)=2\cdot 1=2,
f_y(1,-1)=0,
e o valor da função é
f(1,-1)=1^{2}=1,
conforme o ponto dado (1,-1,1).

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z - f(1,-1) = f_x(1,-1)\,(x-1) + f_y(1,-1)\,(y+1).
Ou seja,
z - 1 = 2\,(x-1) + 0\cdot (y+1).
Fazendo a álgebra:
z - 1 = 2x - 2,
z = 2x - 1.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: a equação não depende de y porque a superfície \mathcal{S}_1 é um “cilindro parabólico” ao longo do eixo y (não varia com y), então o plano tangente também é paralelo ao eixo y. Verificamos que o ponto pertence ao plano: para x=1 temos z=2\cdot1-1=1, coincide com o ponto dado.

Resposta

z = 2x - 1

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