Questão
: Uma empresa de engenharia naval confecciona o casco para um navio cargueiro com o formato abaixo.
Um bom modelo para esse projeto é a reunião de duas peças, sendo
o cilindro parabólico
, unido por
, que é o semiparaboloide
,
. Os números estão em uma escala adequada ao projeto.
(b) Em alguns casos, é necessário estudar o contato de partes do casco com a superfície da água, e uma boa maneira de avaliar isso é encontrando o plano tangente à superfície no ponto de interesse. Calcule o plano tangente à superfície em
.
(b) Em alguns casos, é necessário estudar o contato de partes do casco com a superfície da água, e uma boa maneira de avaliar isso é encontrando o plano tangente à superfície no ponto de interesse. Calcule o plano tangente à superfície em
Passo 1
O enunciado fornece duas peças que formam o casco:
Pede-se: calcular o plano tangente à superfície no ponto
.
Informação importante extraída do enunciado: o ponto
tem
, portanto pertence à peça
, onde a superfície é dada pela equação
. Confirmamos também que
coincide com
, então o ponto está realmente sobre
.
Passo 2
Explicação didática do método a usar (fórmula do plano tangente para gráfico de função):
Se uma superfície é dada como gráfico de uma função , o plano tangente em
é dado por
Se uma superfície é dada como gráfico de uma função
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a : mede a taxa de variação de quando variamos e mantemos fixo. -
é a derivada parcial de em relação a : mede a taxa de variação de quando variamos e mantemos fixo.
Intuição simples: o plano tangente é a melhor aproximação linear da superfície perto do ponto; as inclinações nas direções dos eixos
e
são dadas por
e
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: sobre
temos a função
Calculamos as derivadas parciais:
pois
não depende de
.
Passo 4
Avaliaremos as derivadas no ponto
:
e o valor da função é
conforme o ponto dado
.
Passo 5
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Ou seja,
Fazendo a álgebra:
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: a equação não depende de
porque a superfície
é um “cilindro parabólico” ao longo do eixo
(não varia com
), então o plano tangente também é paralelo ao eixo
. Verificamos que o ponto pertence ao plano: para
temos
, coincide com o ponto dado.