A lei do esfriamento/aquecimento de Newton afirma que a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia é proporcional à diferença de entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se
é a temperatura do corpo no tempo
e
é a temperatura do meio, um modelo para essa lei é dada pela equação
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de
e a temperatura do ambiente em torno se mantém constante igual a
. Resolva o PVI
para encontrar um modelo para a temperatura do bolo ao longo do tempo, onde
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
e informa que a temperatura do meio é
e a constante de proporcionalidade é
. A pergunta é: encontrar um modelo explícito para a temperatura do bolo
ao longo do tempo que satisfaça esse problema de valor inicial.
Passo 2
Vamos identificar o tipo de equação e a estratégia. A equação
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável — isto é, podemos colocar todos os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro lado. Separar variáveis é um método simples e direto para este caso.
Passo 3
Separe as variáveis colocando
com
e
com
. Fazemos:
Explicação didática: separar variáveis significa reescrever a equação como uma diferencial em
multiplicada por uma função apenas de
igual a uma diferencial em
multiplicada por uma função apenas de
. Aqui
depende só de
e
é constante (depende só de
trivialmente).
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
Agora explico a integral do lado esquerdo: a primitiva de
é o logaritmo natural
. Ou seja,
onde
é a constante de integração. Observação sobre o valor absoluto: a integral dá
, mas como a condição inicial tem
, a expressão
é positiva ao menos perto de
, então poderemos remover as barras de valor absoluto ao resolver para a constante.
Passo 5
Eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados para isolar
. Aplicando exponencial:
Definimos
, que é uma constante positiva. Assim
Como argumentado antes, com
temos
inicialmente, então escolhemos o sinal positivo e escrevemos
Passo 6
Aplicamos a condição inicial para determinar
. Em
vale
, portanto
logo
Passo 7
Substituímos
e
na expressão geral. Assim obtemos o modelo para
:
Como o enunciado deu
, substituímos para ficar explícito:
Passo 8
Breve comentário de interpretação (didático e motivador): essa fórmula mostra que a temperatura do bolo decai exponencialmente de
em direção a
. O termo
é a diferença inicial
e o fator
controla a rapidez do resfriamento — quanto mais negativo
, mais rápido o esfriamento.