A lei do esfriamento/aquecimento de Newton afirma que a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia é proporcional à diferença de entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se T=T(t) é a temperatura do corpo no tempo t e T_{m} é a temperatura do meio, um modelo para essa lei é dada pela equação
\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} t}=k\left(T-T_{m}\right) \text {, onde } k \text { é uma constante de proporcionalidade. }é
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300^{\circ} \mathrm{F} e a temperatura do ambiente em torno se mantém constante igual a T_{m}=70^{\circ} \mathrm{F}. Resolva o PVI
\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} t}=k(T-70), T(0)=300
para encontrar um modelo para a temperatura do bolo ao longo do tempo, onde k=-0,2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=k(T-70),
com condição inicial
T(0)=300,
e informa que a temperatura do meio é T_{m}=70 e a constante de proporcionalidade é k=-0,2. A pergunta é: encontrar um modelo explícito para a temperatura do bolo T(t) ao longo do tempo que satisfaça esse problema de valor inicial.

Passo 2

Vamos identificar o tipo de equação e a estratégia. A equação
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=k(T-70)
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável — isto é, podemos colocar todos os termos envolvendo T de um lado e os termos envolvendo t do outro lado. Separar variáveis é um método simples e direto para este caso.

Passo 3

Separe as variáveis colocando (T-70) com \mathrm{d}T e t com \mathrm{d}t. Fazemos:
\frac{1}{T-70}\,\mathrm{d}T = k\,\mathrm{d}t.
Explicação didática: separar variáveis significa reescrever a equação como uma diferencial em T multiplicada por uma função apenas de T igual a uma diferencial em t multiplicada por uma função apenas de t. Aqui \frac{1}{T-70} depende só de T e k é constante (depende só de t trivialmente).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{T-70}\,\mathrm{d}T = \int k\,\mathrm{d}t.
Agora explico a integral do lado esquerdo: a primitiva de \frac{1}{T-70} é o logaritmo natural \ln|T-70|. Ou seja,
\ln|T-70| = kt + C,
onde C é a constante de integração. Observação sobre o valor absoluto: a integral dá \ln|T-70|, mas como a condição inicial tem T(0)=300>70, a expressão T-70 é positiva ao menos perto de t=0, então poderemos remover as barras de valor absoluto ao resolver para a constante.

Passo 5

Eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados para isolar T. Aplicando exponencial:
|T-70| = e^{kt+C} = e^{C}e^{kt}.
Definimos C_1 = e^{C}, que é uma constante positiva. Assim
T-70 = \pm C_1 e^{kt}.
Como argumentado antes, com T(0)=300 temos T-70>0 inicialmente, então escolhemos o sinal positivo e escrevemos
T-70 = C_1 e^{kt}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para determinar C_1. Em t=0 vale T(0)=300, portanto
300-70 = C_1 e^{k\cdot 0} \quad\Rightarrow\quad 230 = C_1 \cdot 1,
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C_1 = 230.

Passo 7

Substituímos C_1 e k na expressão geral. Assim obtemos o modelo para T(t):
T(t)=70 + 230 e^{kt}.
Como o enunciado deu k=-0,2, substituímos para ficar explícito:
T(t)=70 + 230 e^{-0,2t}.

Passo 8

Breve comentário de interpretação (didático e motivador): essa fórmula mostra que a temperatura do bolo decai exponencialmente de 300^\circ\mathrm{F} em direção a 70^\circ\mathrm{F}. O termo 230 é a diferença inicial 300-70 e o fator e^{-0,2t} controla a rapidez do resfriamento — quanto mais negativo k, mais rápido o esfriamento.

Resposta

T(t)=70 + 230\,e^{-0,2t}

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