(Equações Homogêneas) Uma equação diferencial da forma
é dita homogênea de primera ordem se a função
satisfaz que
para qualquer
. Neste caso a subtituição
ou
permite transformar a equação diferencial numa equação separável nas variáveis
e
. Mostre que cada uma das seguintes equações é homogênea de primeira ordem e determine a equação usando a substituição sugerida
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para mostrar que ela é homogênea de primeira ordem e, usando a substituição
, obter uma equação separável em
e
. Vamos precisar do conceito de função homogênea de grau zero e da fórmula
quando
.
Passo 2
Definindo
verificamos a homogeneidade:
Logo
é homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazendo
temos
e
Portanto a EDO fica
Passo 4
Isolando
:
Isso é separável:
Resposta
A equação transformada pela substituição
é