(Equações Homogêneas) Uma equação diferencial da forma d yd x=f(x, y) é dita homogênea de primera ordem se a função f satisfaz que f(lambda x, lambda y)=f(x, y) para qualquer lambda neq 0. Neste caso a subtituição v=yx ou y=v cdot x permite transformar a equação diferencial numa equação separável nas variáveis v e x. Mostre que cada uma das seguintes equações é homogênea de primeira ordem e determine a equação usando a substituição sugerida
d yd x=x^2+y^22 x y

Passo 1

O enunciado dá a equação
dydx = x^2 + y^22,x,y
e pede para mostrar que ela é homogênea de primeira ordem e, usando a substituição y = v,x, obter uma equação separável em v e x. Vamos precisar do conceito de função homogênea de grau zero e da fórmula
dydx = v + x,dvdx
quando y=v,x.

Passo 2

Definindo
f(x,y) = x^2 + y^22,x,y,
verificamos a homogeneidade:
f(lambda x,lambda y) = (lambda x)^2 + (lambda y)^22,(lambda x),(lambda y) = lambda^2(x^2+y^2)2,lambda^2,x,y = x^2 + y^22,x,y = f(x,y)
Logo f é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo y = v,x temos
dydx = v + x,dvdx
e
x^2 + y^22,x,y = x^2 + v^2x^22,x,(v,x) = 1+v^22,v
Portanto a EDO fica
v + x,dvdx = 1+v^22,v

Passo 4

Isolando dv/dx:
x,dvdx = 1+v^22,v - v = 1+v^2 - 2v^22,v = 1 - v^22,v
Isso é separável:
2,v1 - v^2,dv = dxx

Resposta

A equação transformada pela substituição y=v,x é
2,v1 - v^2,dv = dxx

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