Um grupo de pesquisa militar analisa a forma como uma bala se comporta quando disparada contra um novo tipo de material. O novo material faz com que a bala reduza sua velocidade a uma taxa proporcional à raiz quadrada da velocidade da bala. Se a velocidade da bala ao impactar a barreira é de 200 metros por segundo e demorou 0.01 segundo em parar, determine a distância que a bala penetrou dentro do material.
Passo 1
O enunciado fala de uma bala que penetra num material e perde velocidade a uma taxa proporcional à raiz quadrada da sua velocidade. Matematicamente isso vira uma equação diferencial de primeira ordem separável do tipo
onde
é a velocidade da bala e
é a constante de proporcionalidade. Sabemos que
m/s e que em
s a bala pára (
). Queremos a distância de penetração
com
s. Para resolver, vamos (i) achar
usando o tempo de parada e (ii) calcular
por integração direta ou usando
.
Passo 2
Determinar a constante
a partir do tempo de parada. Separamos variáveis na equação
Integrando de
até
e de
até
, temos
O lado esquerdo é
, logo
Passo 3
Expressar a distância
em função de
. Como
e
, obtemos
Integramos de
até
:
Passo 4
Substituímos
e calculamos
metros, ou seja aproximadamente
m.
Resposta
A bala penetrou aproximadamente
m dentro do material.