Um grupo de pesquisa militar analisa a forma como uma bala se comporta quando disparada contra um novo tipo de material. O novo material faz com que a bala reduza sua velocidade a uma taxa proporcional à raiz quadrada da velocidade da bala. Se a velocidade da bala ao impactar a barreira é de 200 metros por segundo e demorou 0.01 segundo em parar, determine a distância que a bala penetrou dentro do material.

Passo 1

O enunciado fala de uma bala que penetra num material e perde velocidade a uma taxa proporcional à raiz quadrada da sua velocidade. Matematicamente isso vira uma equação diferencial de primeira ordem separável do tipo
dvdt = -k raizv,
onde v(t) é a velocidade da bala e k>0 é a constante de proporcionalidade. Sabemos que v(0)=200 m/s e que em t=0,01 s a bala pára ( v=0). Queremos a distância de penetração
X=integral0^T v(t),dt,
com T=0,01 s. Para resolver, vamos (i) achar k usando o tempo de parada e (ii) calcular X por integração direta ou usando dx/dv.

Passo 2

Determinar a constante k a partir do tempo de parada. Separamos variáveis na equação
dvdt = -k raizv Longrightarrow dvraizv = -k,dt
Integrando de v=200 até v=0 e de t=0 até t=T=0,01, temos
integral200^0 v^-tfrac12dv = -kintegral0^0,01dt ;Longrightarrow; l[2raizvr]200^0 = -k,(0,01)
O lado esquerdo é -2raiz200, logo
-2raiz200 = -k,(0,01) Longrightarrow k = 2raiz2000,01

Passo 3

Expressar a distância X em função de v. Como dx/dt=v e dv/dt=-kraiz v, obtemos
dxdv = dx/dtdv/dt = v-kraizv = -v^1/2k
Integramos de v=200 até v=0:
X = integral0^Xdx = integral200^0l(-v^1/2kr)dv = 1kintegral0^200v^1/2dv = 1k,l[tfrac23v^3/2r]0^200 = 23k,(200)^3/2

Passo 4

Substituímos k = 2raiz200/0,01 e calculamos
X = 23,(200)^3/2k = 23,(200)^3/2tfrac2raiz2000,01 = 23,200raiz200;0,012raiz200 = 200cdot0,013 = 23
metros, ou seja aproximadamente 0,667 m.

Resposta

A bala penetrou aproximadamente 0,67 m dentro do material.

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