Equações e Inequações Trigonométricas
Resolva
\operatorname{sen}(x)>\frac{1}{2} para x \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica
\operatorname{sen}(x) > \tfrac{1}{2}
no intervalo [0,2\pi]. O conteúdo aqui é entender em que regiões do círculo unitário (ou do gráfico de \operatorname{sen} x) a função vale mais que \tfrac12.

Passo 2

Sabemos que \operatorname{sen}(x)=\tfrac12 em x=\operatorname{arcsen}\bigl(\tfrac12\bigr) e no simétrico em [0,\pi]. Como \operatorname{arcsen}\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac{\pi}{6}, o outro ponto é
\pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{5\pi}{6}.
Para \operatorname{sen}(x)>\tfrac12 estamos entre essas raízes, pois o seno sobe de 0 a 1 em [0,\pi/2] e desce de 1 a 0 em [\pi/2,\pi]. Não há outros trechos em [0,2\pi] onde \operatorname{sen} x ultrapassa \tfrac12.

Resposta

x \in \bigl(\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{5\pi}{6}\bigr).

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