Equações e Inequações Trigonométricas
Resolva
\operatorname{sen}(2 x)=\sqrt{3} / 2 para x \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \sin(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}
no intervalo x\in[0,2\pi].
O conteúdo envolve equações trigonométricas: primeiro achamos a solução geral de \sin\theta=a, depois aplicamos essa solução a \theta=2x e, por fim, impomos x\in[0,2\pi].

Passo 2

Recordando a solução geral de \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}:
\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,
com k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Fazendo \theta=2x, temos as duas famílias de soluções:
2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{6} + k\pi,
2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{3} + k\pi.

Passo 4

Agora impomos x\in[0,2\pi] em cada família:
  1. Para x = \frac{\pi}{6} + k\pi:
  • k=0 x=\frac{\pi}{6} (válido).
  • k=1 x=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6} (válido).
  • k=-1 e k\ge2 ficam fora de [0,2\pi].
  1. Para x = \frac{\pi}{3} + k\pi:
  • k=0 x=\frac{\pi}{3} (válido).
  • k=1 x=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3} (válido).
  • Para outros k não há valores em [0,2\pi].

Passo 5

Reunindo todas as soluções obtidas em ordem crescente, temos
x = \frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{4\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{3},\;\frac{7\pi}{6},\;\frac{4\pi}{3}

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