Funções Trigonométricas
Mostre que \cot (x) é uma função ímpar usando a definição.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função \cot(x) é ímpar, isto é, que ela satisfaz, para todo x em seu domínio,
\cot(-x) \;=\;-\,\cot(x).
Para isso vamos usar a definição de função ímpar e as propriedades de paridade de \sin(x) e \cos(x).

Passo 2

Começamos calculando \cot(-x) a partir de sua definição \cot(u)=\frac{\cos(u)}{\sin(u)}:
\cot(-x) =\frac{\cos(-x)}{\sin(-x)}.
Sabemos que \cos(-x)=\cos(x) (coseno é função par) e \sin(-x)=-\sin(x) (seno é função ímpar). Logo,
\cot(-x) =\frac{\cos(x)}{-\sin(x)} =-\frac{\cos(x)}{\sin(x)} =-\cot(x).

Resposta

\cot(-x) = -\cot(x), logo \cot(x) é uma função ímpar.

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