Funções Trigonométricas
Determine o domínio e a imagem da função y=\csc (x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função
y = \csc(x),
ou seja, da cosecante de x. Vamos usar que \csc(x) é definida como o recíproco de \sin(x) e explorar onde \sin(x) se anula e quais valores \sin(x) assume.

Passo 2

Como \csc(x)=1/\sin(x), devemos exigir que o denominador seja não nulo, isto é,
\sin(x)\neq 0.
Sabemos que \sin(x)=0 exatamente quando
x = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo, o domínio de \csc(x) é todos os reais, exceto esses pontos.

Passo 3

Para a imagem, observamos que
\sin(x)\in[-1,1]\setminus\{0\}.
O recíproco de um número em (0,1] varia de 1 até +\infty, e o recíproco de um número em [-1,0) varia de -\infty até -1. Portanto os valores possíveis de \csc(x) cobrem
(-\infty,-1]\;\cup\;[1,\infty).

Resposta

Domínio:\quad \{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\}.
Imagem:\quad (-\infty,-1]\;\cup\;[1,\infty).

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