Equações lineares e não lineares. A equação diferencial ordinária
é linear se
é uma função linear nas variáveis
. Esta definição é equivalente à de uma transformação linear vista em Álgebra Linear. Uma definição similar se aplica às equações diferenciais parciais. Desta maneira, a forma geral de uma equação diferencial linear de ordem
é:
Uma equação que não respeita a condição acima é não linear. Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem se é linear ou não linear. Explique.
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para determinarmos a ordem da equação e se ela é linear ou não. Lembre que a ordem é o maior nível de derivada presente e que uma equação é linear se puder ser escrita na forma geral de uma combinação linear de
com coeficientes que dependem apenas de
:
Passo 2
Para achar a ordem, observamos quais derivadas de
aparecem. Nesta equação só aparece
, ou seja, a maior ordem de derivada é
. Logo, trata-se de uma equação de ordem
.
Passo 3
Agora, verificamos a linearidade. A equação é linear se todos os termos envolvendo
e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de
e sem potências ou produtos entre si. Aqui temos o termo
, que envolve
ao quadrado. Esse
impede que a equação se encaixe na forma linear, pois é um produto não-linear de
. Portanto, a equação é não linear.
Resposta
Ordem 1 e não linear.