Equações lineares e não lineares. A equação diferencial ordinária
F\left(t, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n)}\right)=0
é linear se F é uma função linear nas variáveis y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n)}. Esta definição é equivalente à de uma transformação linear vista em Álgebra Linear. Uma definição similar se aplica às equações diferenciais parciais. Desta maneira, a forma geral de uma equação diferencial linear de ordem n é:
a_{0}(t) y^{(n)}+a_{1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n}(t) y=g(t)
Uma equação que não respeita a condição acima é não linear. Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem se é linear ou não linear. Explique.
y^{\prime}+t y^{2}=0.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
y' + t\,y^2 = 0
e pede para determinarmos a ordem da equação e se ela é linear ou não. Lembre que a ordem é o maior nível de derivada presente e que uma equação é linear se puder ser escrita na forma geral de uma combinação linear de y,y',\dots com coeficientes que dependem apenas de t:
a_{0}(t)\,y^{(n)}+a_{1}(t)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_{n}(t)\,y = g(t).

Passo 2

Para achar a ordem, observamos quais derivadas de y aparecem. Nesta equação só aparece y', ou seja, a maior ordem de derivada é 1. Logo, trata-se de uma equação de ordem 1.

Passo 3

Agora, verificamos a linearidade. A equação é linear se todos os termos envolvendo y e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de t e sem potências ou produtos entre si. Aqui temos o termo t\,y^2, que envolve y ao quadrado. Esse y^2 impede que a equação se encaixe na forma linear, pois é um produto não-linear de y. Portanto, a equação é não linear.

Resposta

Ordem 1 e não linear.

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