Mostre que y=a \cos (m x+b) é uma solução da equação diferencial y^{\prime \prime}+m^{2} y=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
y = a \cos(mx + b)
satisfaz a equação diferencial
y'' + m^{2}y = 0.
O plano é calcular y' e y'' usando a regra da cadeia e depois substituir na equação para verificar que o resultado é zero.

Passo 2

Derivando y em relação a x, temos, aplicando a regra da cadeia e sabendo que \frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u):
y = a \cos(mx + b)
y' = a \cdot\bigl(-\sin(mx + b)\bigr)\cdot \frac{d}{dx}(mx + b) = -a\,m\,\sin(mx + b).
Derivando novamente para obter y'':
y'' = -a\,m \cdot \frac{d}{dx}\bigl[\sin(mx + b)\bigr] = -a\,m \cdot \cos(mx + b)\cdot \frac{d}{dx}(mx + b) = -a\,m^{2}\,\cos(mx + b).

Passo 3

Substituímos y e y'' na equação y'' + m^{2}y:
y'' + m^{2}y = \bigl(-a\,m^{2}\cos(mx+b)\bigr) + m^{2}\bigl(a\cos(mx+b)\bigr) = -a\,m^{2}\cos(mx+b) + a\,m^{2}\cos(mx+b) = 0.
Assim, a soma é identicamente zero para todo x.

Resposta

Portanto, y = a \cos(mx + b) é de fato solução da equação diferencial
y'' + m^{2}y = 0.

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