Equações lineares e não lineares. A equação diferencial ordinária
é linear se
é uma função linear nas variáveis
. Esta definição é equivalente à de uma transformação linear vista em Álgebra Linear. Uma definição similar se aplica às equações diferenciais parciais. Desta maneira, a forma geral de uma equação diferencial linear de ordem
é:
Uma equação que não respeita a condição acima é não linear. Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem se é linear ou não linear. Explique.
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para identificar a ordem da equação e determinar se ela é linear ou não, usando a definição de linearidade em termos de
,
,
,
.
Passo 2
A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada que aparece. Aqui aparece
, portanto é de ordem 2.
Passo 3
A forma geral de uma EDO linear de ordem 2 é
com
funções apenas de
e sem produtos ou potências das
. No nosso caso temos
todas funções só de
e cada termo envolvendo
,
ou
aparece de forma linear. Logo a equação é linear.
Resposta
A equação é de ordem 2 e linear.