Equações lineares e não lineares. A equação diferencial ordinária
F\left(t, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n)}\right)=0
é linear se F é uma função linear nas variáveis y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n)}. Esta definição é equivalente à de uma transformação linear vista em Álgebra Linear. Uma definição similar se aplica às equações diferenciais parciais. Desta maneira, a forma geral de uma equação diferencial linear de ordem n é:
a_{0}(t) y^{(n)}+a_{1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n}(t) y=g(t)
Uma equação que não respeita a condição acima é não linear. Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem se é linear ou não linear. Explique.
t^{2} y^{\prime \prime}+t y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} t.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
t^{2}y^{\prime\prime}+t\,y^{\prime}+2y=\sin t
e pede para identificar a ordem da equação e determinar se ela é linear ou não, usando a definição de linearidade em termos de y, y', \dots, y^{(n)}.

Passo 2

A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada que aparece. Aqui aparece y^{\prime\prime}, portanto é de ordem 2.

Passo 3

A forma geral de uma EDO linear de ordem 2 é
a_{0}(t)\,y^{\prime\prime}+a_{1}(t)\,y^{\prime}+a_{2}(t)\,y=g(t),
com a_{i}(t) funções apenas de t e sem produtos ou potências das y^{(k)}. No nosso caso temos
a_{0}(t)=t^{2},\quad a_{1}(t)=t,\quad a_{2}(t)=2,\quad g(t)=\sin t,
todas funções só de t e cada termo envolvendo y, y' ou y'' aparece de forma linear. Logo a equação é linear.

Resposta

A equação é de ordem 2 e linear.

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