Equações diferenciais ordinárias e parciais: Se a função incógnita da equação diferencial depende de apenas uma variável, então temos um exemplo de equação diferencial ordinária. Caso contrário, teremos uma equação diferencial parcial. Verifique se a equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação:
y^{\prime \prime}-y=0 ; y(t)=\operatorname{cosh} t.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
y'' - y = 0
envolvendo a função incógnita y que depende de uma variável t. Precisamos classificar se é uma equação diferencial ordinária ou parcial e verificar se
y(t) = \operatorname{cosh} t
é solução dessa equação.

Passo 2

Como y depende de apenas uma variável, t, conclui-se que se trata de uma equação diferencial ordinária — não há derivadas parciais em relação a múltiplas variáveis.

Passo 3

Calcular as derivadas de y(t)=\operatorname{cosh} t.
y'(t)=\operatorname{sinh} t,
y''(t)=\operatorname{cosh} t.

Passo 4

Substituir y e y'' na equação y'' - y = 0. Isso dá
\operatorname{cosh} t - \operatorname{cosh} t = 0,
uma identidade verdadeira para todo t, logo a igualdade se satisfaz.

Resposta

É uma equação diferencial ordinária e y(t)=\operatorname{cosh} t é solução de y''-y=0.

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