Verifique se a equação descreve uma esfera. Em caso afirmativo, identifique o centro e o raio.
x^2+y^2+z^2-4 x-2 y-11=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação dada representa uma esfera e, em caso afirmativo, determinar seu centro e raio. O conteúdo envolve geometria analítica de esferas e vamos precisar completar quadrados para colocar a equação na forma padrão.

Passo 2

Escrevemos a equação original e agrupamos os termos quadráticos e lineares de cada variável:
x^2-4x + y^2-2y + z^2 -11 = 0
Para completar os quadrados em x e y, adicionamos e subtraímos os termos adequados. Em x: x^2-4x +4 -4. Em y: y^2-2y +1 -1. A equação fica:
(x^2-4x+4) -4 + (y^2-2y+1) -1 + z^2 -11 = 0

Passo 3

Reescrevendo os quadrados completos e somando as constantes no outro lado da igualdade:
(x-2)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 11 +4 +1 = 16
Isso mostra que a equação está na forma padrão de uma esfera.
Da forma padrão (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2, identificamos o centro (x0,y0,z0)=(2,1,0) e o raio r=raiz16=4.

Resposta

Centro: (2,1,0); Raio: 4

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