Quais as equações de Park no regime balanceado?

Passo 1

O enunciado pede as equações de circuito após aplicar a transformada de Park a um sistema trifásico balanceado. Vamos precisar da definição da transformada abc→dq0 e então escrever as equações de circuito do estator e do rotor nesse referencial girante de velocidade elétrica \omega_e.

Passo 2

Definimos as componentes direta, em quadratura e homopolar a partir das fases a,b,c e do ângulo elétrico \theta_e=\omega_e t:
v_d = \tfrac{2}{3}\bigl(v_a\cos\theta_e + v_b\cos(\theta_e-\tfrac{2\pi}{3}) + v_c\cos(\theta_e+\tfrac{2\pi}{3})\bigr)
v_q = -\tfrac{2}{3}\bigl(v_a\sin\theta_e + v_b\sin(\theta_e-\tfrac{2\pi}{3}) + v_c\sin(\theta_e+\tfrac{2\pi}{3})\bigr)
v_0 = \tfrac{1}{3}(v_a + v_b + v_c)

Passo 3

Escrevemos as equações de circuito do estator no referencial dq0 girante:
v_d = R_s\,i_d + \frac{d\psi_d}{dt} \;-\;\omega_e\,\psi_q
v_q = R_s\,i_q + \frac{d\psi_q}{dt} \;+\;\omega_e\,\psi_d
v_0 = R_s\,i_0 + \frac{d\psi_0}{dt}

Passo 4

Para o rotor referimos as correntes e fluxos ao estator e escrevemos no mesmo referencial girante, usando a velocidade mecânica \omega_r:
0 = R_r\,i_{dr} + \frac{d\psi_{dr}}{dt} \;-\;(\omega_e-\omega_r)\,\psi_{qr}
0 = R_r\,i_{qr} + \frac{d\psi_{qr}}{dt} \;+\;(\omega_e-\omega_r)\,\psi_{dr}
0 = R_r\,i_{0r} + \frac{d\psi_{0r}}{dt}

Passo 5

Ligação de fluxos mútuos e próprios no regime balanceado:
\psi_d = L_s\,i_d + L_m\,i_{dr}
\psi_q = L_s\,i_q + L_m\,i_{qr}
\psi_{dr} = L_r\,i_{dr} + L_m\,i_d
\psi_{qr} = L_r\,i_{qr} + L_m\,i_q
\psi_0 = \psi_{0r} = L_0\,i_0

Resposta

Equações de Park no regime balanceado:
v_d = R_s\,i_d + \frac{d\psi_d}{dt} - \omega_e\,\psi_q
v_q = R_s\,i_q + \frac{d\psi_q}{dt} + \omega_e\,\psi_d
0 = R_r\,i_{dr} + \frac{d\psi_{dr}}{dt} - (\omega_e-\omega_r)\,\psi_{qr}
0 = R_r\,i_{qr} + \frac{d\psi_{qr}}{dt} + (\omega_e-\omega_r)\,\psi_{dr}
e as ligações de fluxo
\psi_d = L_s\,i_d + L_m\,i_{dr},\quad \psi_q = L_s\,i_q + L_m\,i_{qr},
\psi_{dr} = L_r\,i_{dr} + L_m\,i_d,\quad \psi_{qr} = L_r\,i_{qr} + L_m\,i_q.

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