Para as seguintes correntes em coordenadas abc, obter as respectivas correntes em coordenadas dq0.
\left[\begin{array}{l} i_{a} \\\ i_{b} \\\ i_{c} \end{array}\right]=\sqrt{2} I\left[\begin{array}{c} \operatorname{sen}\left(\omega_{r} t+30\right) \\\ \operatorname{sen}\left(\omega_{r} t-90\right) \\\ \operatorname{sen}\left(\omega_{r} t+150\right) \end{array}\right]
Faça o exercício usando a transformada de Park e o método simplificado.

Passo 1

O enunciado nos dá as correntes trifásicas em coordenadas abc
\begin{pmatrix} i_a \\[6pt] i_b \\[6pt] i_c \end{pmatrix} =\sqrt{2}\,I \begin{pmatrix} \operatorname{sen}\bigl(\omega_r t+30^\circ\bigr) \\[3pt] \operatorname{sen}\bigl(\omega_r t-90^\circ\bigr) \\[3pt] \operatorname{sen}\bigl(\omega_r t+150^\circ\bigr) \end{pmatrix}
e pede as correntes em dq0 usando a transformada de Park no método simplificado, ou seja,
i_d=\tfrac{2}{3}\bigl[i_a\cos\theta+i_b\cos(\theta-120^\circ)+i_c\cos(\theta+120^\circ)\bigr],
i_q=-\tfrac{2}{3}\bigl[i_a\operatorname{sen}\theta+i_b\operatorname{sen}(\theta-120^\circ)+i_c\operatorname{sen}(\theta+120^\circ)\bigr],
i_0=\tfrac{1}{3}(i_a+i_b+i_c),
com \theta=\omega_r t. Para simplificar, vamos desprezar as componentes de segunda harmônica 2\omega_r que surgem na projeção, ficando apenas o termo de média (DC) em dq.]

Passo 2

Calculamos primeiro i_0. Note que
i_a+i_b+i_c =\sqrt{2}\,I\bigl[\operatorname{sen}(\omega_r t+30^\circ)+\operatorname{sen}(\omega_r t-90^\circ)+\operatorname{sen}(\omega_r t+150^\circ)\bigr].
Mas a soma de três senos defasados em 120^\circ é zero. Logo
i_0=\tfrac{1}{3}(i_a+i_b+i_c)=0.

Passo 3

Agora i_d. Escrevemos
i_d =\tfrac{2}{3}\sqrt{2}\,I\Bigl[\operatorname{sen}(\omega_r t+30^\circ)\cos\omega_r t +\operatorname{sen}(\omega_r t-90^\circ)\cos(\omega_r t-120^\circ) +\operatorname{sen}(\omega_r t+150^\circ)\cos(\omega_r t+120^\circ)\Bigr].
Cada produto \operatorname{sen}\alpha\cos\beta gera termos em 2\omega_r e um termo constante. No método simplificado desprezamos o harmônico 2\omega_r, restando apenas o termo médio de cada produto, que é
\frac{1}{2}\operatorname{sen}(\alpha-\beta) \quad\longrightarrow\quad \frac{1}{2}\operatorname{sen}(30^\circ)\quad\text{em cada item},
pois em todas as diferenças \alpha-\beta aparece 30^\circ. Assim a soma média é
\frac{1}{2}\sen30^\circ+\frac{1}{2}\sen30^\circ+\frac{1}{2}\sen30^\circ =\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{4}.
Então
i_d =\tfrac{2}{3}\sqrt{2}\,I\cdot\tfrac{3}{4} =\sqrt{2}\,I\cdot\tfrac{1}{2} =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,I.

Passo 4

Finalmente i_q. Temos
i_q =-\tfrac{2}{3}\sqrt{2}\,I\Bigl[\operatorname{sen}(\omega_r t+30^\circ)\operatorname{sen}\omega_r t +\operatorname{sen}(\omega_r t-90^\circ)\operatorname{sen}(\omega_r t-120^\circ) +\operatorname{sen}(\omega_r t+150^\circ)\operatorname{sen}(\omega_r t+120^\circ)\Bigr].
Cada \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta dá termo em 2\omega_r e termo médio \tfrac{1}{2}\cos(\alpha-\beta). Aqui \alpha-\beta=30^\circ em cada produto, então cada termo médio vale \tfrac{1}{2}\cos30^\circ=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}. Somando os três:
3\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}=\tfrac{3\sqrt{3}}{4}.
Logo
i_q =-\tfrac{2}{3}\sqrt{2}\,I\cdot\tfrac{3\sqrt{3}}{4} =-\sqrt{2}\,I\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} =-\tfrac{\sqrt{6}}{2}\,I.

Resposta

i_d=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,I, \quad i_q=-\tfrac{\sqrt{6}}{2}\,I, \quad i_0=0.

Exercícios relacionados