Calcule \mathcal{P} v_{n} dado:
v_{n}=-r\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} i_{a} \\\ i_{b} \\\ i_{c} \end{array}\right]-L\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} i_{a} \\\ i_{b} \\\ i_{c} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor
v_{n} = -r\,J\,\begin{pmatrix}i_{a}\i_{b}\i_{c}\end{pmatrix} -L\,J\,\begin{pmatrix}i_{a}\i_{b}\i_{c}\end{pmatrix},
onde
J = \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&1&1\end{pmatrix}.
Queremos calcular \mathcal{P}\,v_{n}. O conteúdo é projeção em \mathbb{R}^3 usando a matriz de projeção zero‐sequência
\mathcal{P} = \frac{1}{3}\,J,
que satisfaz J^2 = 3\,J.

Passo 2

Defina a soma das correntes
S = i_{a} + i_{b} + i_{c}.
Então
J\,\begin{pmatrix}i_{a}\i_{b}\i_{c}\end{pmatrix} = S\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Agrupando os termos em v_{n}, temos
v_{n} = -\bigl(r+L\bigr)\,J\,\begin{pmatrix}i_{a}\i_{b}\i_{c}\end{pmatrix} = -\bigl(r+L\bigr)\,S\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicando \mathcal{P} = \tfrac{1}{3}J em v_{n}, vem
\mathcal{P}\,v_{n} = \frac{1}{3}\,J\Bigl[-(r+L)\,S\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr] = -\frac{r+L}{3}\,S\,J\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Como J\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = 3\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, obtemos
\mathcal{P}\,v_{n} = -\frac{r+L}{3}\,S\;3\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = -\bigl(r+L\bigr)\,S\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = v_{n}.

Resposta

\mathcal{P}\,v_{n} = v_{n}.

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