As equações x^{2}-5 x+6=0 e x^{2}-7 x+c possuem uma raiz em comum. Os valores possiveis para c, são:
a) 10 e 15
b) 12 e 15
c) apenas 10
d) 10 e 12
e) 10,12 e 15

Passo 1

O enunciado apresenta duas equações quadráticas
x^{2}-5x+6=0
e
x^{2}-7x+c=0
e pede os valores de c para que elas tenham uma raiz em comum. O conteúdo aqui é equações do segundo grau, fatoração e uso da condição de raiz comum (substituição ou relação de coeficientes).

Passo 2

Vamos primeiro encontrar as raízes da equação
x^{2}-5x+6=0.
Fatorando, temos
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0,
portanto as raízes são x=2 e x=3.

Passo 3

Seja r a raiz comum. Então r satisfaz
r^{2}-7r+c=0
e daí isolamos c:
c=7r-r^{2}.

Passo 4

Como r pode ser 2 ou 3, calculamos
para r=2:
c=7\cdot2-2^{2}=14-4=10,
para r=3:
c=7\cdot3-3^{2}=21-9=12.

Resposta

(d) 10 e 12

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