As equações
raizx^2-3 x=2 e raizx cdot raizx-3=2
têm o mesmo conjunto de soluções? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para comparar as soluções das equações
raizx^2-3x=2
e
raizx,cdotraizx-3=2
O conteúdo aqui envolve propriedades da raiz quadrada principal e análise de domínio de cada radicando. Para cada equação, vamos (1) determinar o domínio, (2) elevar ambos os lados ao quadrado, (3) resolver a equação polinomial resultante e (4) verificar quais raízes realmente satisfazem a equação original.

Passo 2

Considere
raizx^2-3x=2
Domínio: devemos ter
x^2-3x>=0Longrightarrow x(x-3)>=0,
ou seja x<=0 ou x>=3. Elevando ao quadrado:
x^2-3x=4 Longrightarrow x^2-3x-4=0 Longrightarrow x=3pm52=4,;-1
Ambas as soluções satisfazem x<=0 ou x>=3, logo o conjunto de solução é
-1,,4

Passo 3

Agora a equação
raizx,cdotraizx-3=2
Domínio: precisamos de x>=0 e x-3>=0, ou seja x>=3. Então podemos escrever
raizx(x-3)=2 ;Longrightarrow; x(x-3)=4 ;Longrightarrow; x^2-3x-4=0 ;Longrightarrow; x=3pm52=4,;-1
Mas só x=4 satisfaz x>=3. Logo o conjunto de solução desta segunda equação é
4

Passo 4

Comparando os dois resultados, a primeira equação tem soluções -1,4 e a segunda apenas 4. A diferença vem das condições de domínio distintas: em raizx^2-3x o radicando pode ser não negativo em dois intervalos, enquanto em raizxraizx-3 cada fator impõe x>=3.

Resposta

Não. A primeira equação tem -1,4 como soluções, e a segunda tem apenas 4.

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