O campo de velocidades de um fluido é dado por F(x, y, z)=5 z k e a superfície S é a esfera x^2+y^2+z^2=16. Ache o fluxo de F através de S verificando do teorema da divergência de Gauss. (Considere o comprimento em centímetros e o tempo em horas).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades vec F(x,y,z)=5z,vec k e a superfície S é a esfera x^2+y^2+z^2=16. Queremos o fluxo de vec F através de S, ou seja
Phi=integral duplaSvec Fcdot dvec S,
usando o teorema da divergência de Gauss, que transforma esse fluxo num integral de volume da divergência de vec F sobre o interior da esfera.

Passo 2

Calculamos a divergência de vec F:
divvec F =partialpartial x(0) +partialpartial y(0) +partialpartial z(5z) =5

Passo 3

Pelo teorema da divergência,
Phi=integral triplaVdivvec F,dV =5integral triplaVdV,
onde V é a bola de raio 4. O volume de V é
43picdot4^3=2563pi

Passo 4

Substituindo no integral,
Phi =5cdot2563pi =12803pi
Como o campo tem unidades de comprimento por tempo ( cm/h), o fluxo fica em cm^3/h.

Resposta

Phi=12803pi cm^3/h

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