Dados os pontos A=(1,0,1), B=(3,1,2) e C=(4,-1,3), verifique se eles são vértices de um triângulo. Em caso afirmativo, determine a área desse triângulo e verifique se é um triângulo retângulo.
Observação. Justifique todas as suas respostas com os conhecimentos adquiridos na disciplina de GAAL.
Boa Prova!

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos em R^3:
A=(1,0,1), B=(3,1,2), C=(4,-1,3)
Pergunta-se se eles formam um triângulo (isto é, se não são colineares), qual a área desse triângulo e se ele é retângulo. Para resolver vamos usar conceitos de GAAL: vetor, produto vetorial para testar colinearidade e calcular área, e produto escalar para testar ângulo reto.

Passo 2

Calculamos os vetores que representam dois lados do possível triângulo:
AB = B - A = (3-1,;1-0,;2-1) = (2,,1,,1),
AC = C - A = (4-1,;-1-0,;3-1) = (3,,-1,,2)

Passo 3

Testamos colinearidade através do produto vetorial ABtimesAC. Se for o vetor nulo, os pontos são colineares.
ABtimesAC = det i & j & k 2 & 1 & 1 3 & -1 & 2 = i,(1cdot2 - 1cdot(-1)) - j,(2cdot2 - 1cdot3) + k,(2cdot(-1) - 1cdot3) = (3,,-1,,-5)
Como ABtimesACneq(0,0,0), os vetores não são colineares e, portanto, A,B,C são vértices de um triângulo.

Passo 4

A área do triângulo é dada por metade do módulo do produto vetorial:
|ABtimesAC| = raiz3^2 + (-1)^2 + (-5)^2 = raiz9 + 1 + 25 = raiz35,
Área = 12,|ABtimesAC| = raiz352 Á

Passo 5

Para verificar se o triângulo é retângulo, checamos se algum par de lados é ortogonal, ou seja, se algum produto escalar é zero. Definimos
BC = C - B = (4-3,;-1-1,;3-2) = (1,,-2,,1)
Calculamos:
ABcdotAC = 2cdot3 + 1cdot(-1) + 1cdot2 = 6 -1 +2 =7,
ABcdotBC = 2cdot1 + 1cdot(-2) + 1cdot1 = 2 -2 +1 =1,
ACcdotBC = 3cdot1 + (-1)cdot(-2) + 2cdot1 = 3 +2 +2 =7
Nenhum desses produtos é zero, então nenhum ângulo é reto.

Resposta

Sim, A, B e C formam um triângulo (não são colineares).
A área desse triângulo é raiz352.
O triângulo não é retângulo.

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