As equações 4x^2+4y^2+8x-16y=-11 e x^2+y^2-6x+8y+30=0 representam, respectivamente:
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das equações representa um círculo.
b. Um círculo de centro (-1,2) e raio 3/2. A equação x^2+y^2-6x+8y+30=0 não representa um círculo.
c. Um círculo de centro (-1,2) e raio 3/2 e um círculo de centro (3,-4) e raio raiz5.
d. Um círculo de centro (1,4) e raio 3/2. A equação x^2+y^2-6x+8y+30=0 não representa um círculo.

Passo 1

O enunciado dá duas equações de segundo grau em x e y. Queremos ver se cada uma representa um círculo real, ou seja, escrevê-las na forma
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
com r^2>0. Para isso, vamos completar o quadrado em cada caso.

Passo 2

Analisando a primeira equação
4x^2+4y^2+8x-16y=-11,
dividimos tudo por 4:
x^2+y^2+2x-4y=-tfrac114
Agora completamos quadrados em x e em y:
x^2+2x+1;+;y^2-4y+4 ;=; -tfrac114+1+4
O lado direito fica
-tfrac114+5 ;=;tfrac-11+204 ;=;tfrac94
Logo
(x+1)^2+(y-2)^2=tfrac94,
ou seja, é um círculo de centro (-1,2) e raio r=tfrac32.

Passo 3

Agora a segunda equação:
x^2+y^2-6x+8y+30=0
Completamos quadrados:
x^2-6x+9;+;y^2+8y+16 ;=; -30+9+16
O lado direito dá
-30+25=-5
Ficamos com
(x-3)^2+(y+4)^2=-5
Como o lado direito é negativo, não existe raio real r tal que r^2=-5. Portanto não representa um círculo real.

Resposta

b. Um círculo de centro (-1,2) e raio tfrac32. A equação x^2+y^2-6x+8y+30=0 não representa um círculo.

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