Seja f contínua em [a, b], com f(x) >= 0 em [a, b]. Denote por A a região do plano limitado pelas retas x=a, x=b, pelo eixo x e pelo gráfico de y=f(x). O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A, é dado por
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
Calcule V nos seguintes casos:
A=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função contínua f(x) = sin(x) no intervalo de 0 a pi2 . A gente quer descobrir o volume V do sólido que resulta ao girar a região delimitada por essa função, o eixo x , e as retas x = 0 e x = pi2 em torno do eixo x . Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por método dos discos, que envolve integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a fórmula que vamos usar. O volume V de um sólido de rotação em torno do eixo x é dado por:
V = integrala^b pi [f(x)]^2 , dx
No nosso caso, f(x) = sin(x) , a = 0 e b = pi2 . Então, substituindo na fórmula:
V = integral0^pi2 pi [sin(x)]^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar a integral. A gente tem:
V = pi integral0^pi2 sin^2(x) , dx
Para integrar sin^2(x) , vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a conta:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2

Passo 4

Substituindo a identidade na integral, fica:
V = pi integral0^pi2 1 - cos(2x)2 , dx
Podemos separar a integral em duas partes:
V = pi ( 12 integral0^pi2 1 , dx - 12 integral0^pi2 cos(2x) , dx )

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Primeira Integral:
integral0^pi2 1 , dx = [ x ]0^pi2 = pi2 - 0 = pi2
  1. Segunda Integral:
Para integrar cos(2x) , usamos a substituição u = 2x , então du = 2dx ou dx = du2 :
integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x) + C
Aplicando os limites:
[ 12 sin(2x) ]0^pi2 = 12 sin(pi) - 12 sin(0) = 0 - 0 = 0

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão do volume:
V = pi ( 12 cdot pi2 - 12 cdot 0 ) = pi ( pi4 ) = pi^24

Resposta

O volume V é igual a pi^24 .

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