Seja
contínua em
, com
em
. Denote por
a região do plano limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
. O volume
do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
, é dado por
Calcule
nos seguintes casos:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função contínua
no intervalo de
a
. A gente quer descobrir o volume
do sólido que resulta ao girar a região delimitada por essa função, o eixo
, e as retas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por método dos discos, que envolve integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a fórmula que vamos usar. O volume
de um sólido de rotação em torno do eixo
é dado por:
No nosso caso,
,
e
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a integral. A gente tem:
Para integrar
, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a conta:
Passo 4
Substituindo a identidade na integral, fica:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
- Primeira Integral:
- Segunda Integral:
Para integrar
, usamos a substituição
, então
ou
:
Aplicando os limites:
Passo 6
Agora, substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume
é igual a
.