Determine se
é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O exercício dá o campo vetorial F(x,y) = (ln y + y/x) i + (ln x + x/y) j e pede para verificar se ele é conservativo e, caso seja, encontrar uma função potencial f tal que ∇f = F. O conteúdo usado aqui é o critério de conservatividade (campo de gradiente) e a técnica de integração para achar f.
Passo 2
Primeiro definimos P(x,y)=ln y + y/x e Q(x,y)=ln x + x/y. O domínio natural é x>0 e y>0 para que ln x e ln y estejam definidas. Para um campo em R² ser conservativo em um domínio aberto e simplesmente conexo basta verificar se ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Calculamos:
Como são iguais em todo o domínio, F é conservativo.
Passo 3
Para encontrar f(x,y) tal que ∇f = (P,Q) integramos P em relação a x:
onde g(y) é função “constante” de y na integração.
Agora impomos ∂f/∂y = Q:
como isso deve ser igual a Q(x,y)=ln x + x/y, obtemos g’(y)=0, logo g é constante.
Passo 4
Portanto, uma função potencial é
Podemos escolher C=0 para simplificar.
Resposta
Uma função potencial é f(x,y)=x\ln y + y\ln x + C, logo F é conservativo.