Determine se F é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(ln y+y / x) i+(ln x+x / y) j

Passo 1

O exercício dá o campo vetorial F(x,y) = (ln y + y/x) i + (ln x + x/y) j e pede para verificar se ele é conservativo e, caso seja, encontrar uma função potencial f tal que ∇f = F. O conteúdo usado aqui é o critério de conservatividade (campo de gradiente) e a técnica de integração para achar f.

Passo 2

Primeiro definimos P(x,y)=ln y + y/x e Q(x,y)=ln x + x/y. O domínio natural é x>0 e y>0 para que ln x e ln y estejam definidas. Para um campo em R² ser conservativo em um domínio aberto e simplesmente conexo basta verificar se ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Calculamos:
partial Ppartial y = 1y + 1x,
partial Qpartial x = 1x + 1y
Como são iguais em todo o domínio, F é conservativo.

Passo 3

Para encontrar f(x,y) tal que ∇f = (P,Q) integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral P(x,y),dx = integral l(ln y + yxr) dx = xln y + yln x + g(y),
onde g(y) é função “constante” de y na integração.
Agora impomos ∂f/∂y = Q:
partial fpartial y = x1y + ln x + g'(y) = xy + ln x + g'(y)
como isso deve ser igual a Q(x,y)=ln x + x/y, obtemos g’(y)=0, logo g é constante.

Passo 4

Portanto, uma função potencial é
f(x,y) = xln y + yln x + C
Podemos escolher C=0 para simplificar.

Resposta

Uma função potencial é f(x,y)=x\ln y + y\ln x + C, logo F é conservativo.

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