Para as equações a seguir, diga qual é a ordem e se são não lineares, lineares homogêneas ou lineares não homogêneas. Justifique em cada caso.
u_{t}-u_{x x}+x u=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
u_{t}-u_{x x}+x u=0
e pede:
  • determinar a ordem da equação;
  • dizer se a equação é linear ou não linear (com justificativa);
  • dizer se é homogênea ou não homogênea (com justificativa).
Informações relevantes que temos: a função incógnita é u=u(x,t) e aparecem as derivadas parciais u_{t} e u_{x x}. O termo x u envolve a variável independente x multiplicando u. A equação tem lado direito igual a zero.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial parcial (PDE) e como identificar aqui.
  • Definição prática: a ordem da PDE é a ordem mais alta de derivada parcial da incógnita que aparece na equação.
  • Na equação dada aparecem as derivadas u_{t} (derivada de primeira ordem em t) e u_{x x} (derivada de segunda ordem em x). Não há derivadas de ordem maior que duas.
  • Portanto, a ordem da equação é 2.
Exemplo rápido para fixar: se a equação tivesse só u_{t} e u_{x}, seria de ordem 1; se aparecesse u_{x x x} seria de ordem 3.

Passo 3

O que significa “linear” e como decidir se a equação é linear ou não.
  • Regra prática (definição útil): uma PDE é linear se a incógnita u e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear (isto é, sem produtos entre u ou entre derivadas de u, sem funções não lineares de u como u^{2}, \sin(u), etc.). Coeficientes que dependam apenas das variáveis independentes (por exemplo x ou t) são permitidos.
  • Reescrevendo a equação como um operador linear em u: L[u]=u_{t}-u_{x x}+x\,u.Aqui os coeficientes dos termos são 1 (em u_{t}), -1 (em u_{x x}) e x (em u). Note que x depende apenas da variável independente x, não de u.
  • Não há termos como u^{2}, u\,u_{x}, \exp(u) nem produtos entre derivadas de u. Logo, todos os termos são lineares em u e suas derivadas.
  • Conclusão: a equação é linear.
Para comparação, uma equação como u_{t}+u\,u_{x}=0 seria não linear porque aparece o produto u\,u_{x}.

Passo 4

O que significa “homogênea” e verificação aqui.
  • Para equações lineares, “homogênea” normalmente significa que não existe termo forçante (termo independente de u) no lado direito; em outras palavras, a forma é L[u]=0. Se houvesse um termo do tipo f(x,t) no lado direito, teríamos L[u]=f(x,t) e a equação seria linear não homogênea.
  • Na equação dada o lado direito é exatamente zero: u_{t}-u_{x x}+x u=0,portanto não há termo independente de u.
  • Conclusão: a equação é homogênea (além de linear).
Observação adicional (útil): os coeficientes podem ser funções das variáveis independentes; aqui o coeficiente de u é x, ou seja, trata-se de uma equação linear com coeficiente variável.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: linear (linear em u e nas suas derivadas; coeficientes dependem de x mas não de u)
Homogeneidade: homogênea (lado direito é 0)

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