Para as equações a seguir, diga qual é a ordem e se são não lineares, lineares homogêneas ou lineares não homogêneas. Justifique em cada caso.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede:
- determinar a ordem da equação;
- dizer se a equação é linear ou não linear (com justificativa);
- dizer se é homogênea ou não homogênea (com justificativa).
Informações relevantes que temos: a função incógnita é
e aparecem as derivadas parciais
e
. O termo
envolve a variável independente
multiplicando
. A equação tem lado direito igual a zero.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial parcial (PDE) e como identificar aqui.
- Definição prática: a ordem da PDE é a ordem mais alta de derivada parcial da incógnita que aparece na equação.
- Na equação dada aparecem as derivadas
(derivada de primeira ordem em ) e (derivada de segunda ordem em ). Não há derivadas de ordem maior que duas. - Portanto, a ordem da equação é
.
Exemplo rápido para fixar: se a equação tivesse só
e
, seria de ordem
; se aparecesse
seria de ordem
.
Passo 3
O que significa “linear” e como decidir se a equação é linear ou não.
- Regra prática (definição útil): uma PDE é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear (isto é, sem produtos entre ou entre derivadas de , sem funções não lineares de como , , etc.). Coeficientes que dependam apenas das variáveis independentes (por exemplo ou ) são permitidos. - Reescrevendo a equação como um operador linear em
: Aqui os coeficientes dos termos são (em ), (em ) e (em ). Note que depende apenas da variável independente , não de . - Não há termos como
, , nem produtos entre derivadas de . Logo, todos os termos são lineares em e suas derivadas. - Conclusão: a equação é linear.
Para comparação, uma equação como
seria não linear porque aparece o produto
.
Passo 4
O que significa “homogênea” e verificação aqui.
- Para equações lineares, “homogênea” normalmente significa que não existe termo forçante (termo independente de
) no lado direito; em outras palavras, a forma é . Se houvesse um termo do tipo no lado direito, teríamos e a equação seria linear não homogênea. - Na equação dada o lado direito é exatamente zero:
portanto não há termo independente de . - Conclusão: a equação é homogênea (além de linear).
Observação adicional (útil): os coeficientes podem ser funções das variáveis independentes; aqui o coeficiente de
é
, ou seja, trata-se de uma equação linear com coeficiente variável.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (linear em e nas suas derivadas; coeficientes dependem de
mas não de
)
Homogeneidade: homogênea (lado direito é )
Linearidade: linear (linear em
Homogeneidade: homogênea (lado direito é