\left.4^{\circ}\right)(1,0) Dada a superfície de nível x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-4 y+6 z-10=m.
a) Obtenha m para que a superfície passe pelo ponto (2,1,1).
b) Descreva tal superfície.

Passo 1

O enunciado dá a superfície de nível
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+6z-10=m
e pede duas coisas:
  • (a) Determinar o valor de m para que a superfície passe pelo ponto (2,1,1).
  • (b) Descrever geometricamente essa superfície (tipo de superfície, centro e raio, quando for o caso).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão algébrica da superfície está explícita (polinômio quadrático em x,y,z igual a m).
  • Um ponto específico (2,1,1) que deve satisfazer a equação quando escolhermos m.

Passo 2

Como a superfície deve passar pelo ponto (2,1,1), isso significa que ao substituir (x,y,z)=(2,1,1) na expressão do lado esquerdo, o resultado deve ser igual a m. Ou seja, para achar m basta calcular o valor da expressão para esse ponto e igualar a m. Essa é a forma direta e óbvia de usar a condição “passe pelo ponto”.

Passo 3

Calculemos passo a passo a expressão no ponto (2,1,1). Substituindo x=2, y=1, z=1 em
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+6z-10
temos:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2^{2}+1^{2}+1^{2}=4+1+1=6,
2x=2\cdot2=4,
-4y=-4\cdot1=-4,
6z=6\cdot1=6,
e o termo constante é -10. Somando tudo:
6+4-4+6-10= (6+4)=10,\quad 10-4=6,\quad 6+6=12,\quad 12-10=2.
Portanto o valor da expressão no ponto é 2. Igualando a m obtemos
m=2.

Passo 4

Agora vamos identificar a forma geométrica da superfície para um m genérico — isto ensina como resolver a parte (b). A expressão à esquerda é um polinômio quadrático com termos quadráticos e lineares; o procedimento padrão é completar o quadrado em x, y e z para transformá-lo na forma padrão de uma esfera (se possível).
Completar o quadrado:
x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1,
y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4,
z^{2}+6z=(z+3)^{2}-9.
Somando essas identidades e incluindo o termo -10, obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+6z-10=(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}-1-4-9-10.
Calculemos a soma dos termos constantes subtraídos:
-1-4-9-10=-(1+4+9+10)=-(24)=-24.
Logo
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+6z-10=(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}-24.

Passo 5

A equação da superfície fica então
(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}-24=m,
ou rearranjando,
(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=m+24.
Isto é exatamente a forma padrão de uma esfera quando o lado direito é positivo: centro em (-1,2,-3) e raio \sqrt{m+24}, desde que m+24>0. As possibilidades são:
  • Se m+24>0 a superfície é uma esfera de centro (-1,2,-3) e raio \sqrt{m+24}.
  • Se m+24=0 a superfície reduz-se a um ponto (esfera degenerada) localizado em (-1,2,-3).
  • Se m+24<0 não há pontos reais que satisfaçam a equação (conjunto vazio).

Passo 6

Usando o valor encontrado em (a), m=2, temos
m+24=2+24=26>0,
logo a superfície é uma esfera com centro
(-1,2,-3)
e raio
\sqrt{26}.

Resposta

m=2
A superfície é uma esfera de centro (-1,2,-3) e raio \sqrt{26}.

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