Dada a superfície de nível
.
a) Obtenha
para que a superfície passe pelo ponto
.
b) Descreva tal superfície.
a) Obtenha
b) Descreva tal superfície.
Passo 1
O enunciado dá a superfície de nível
e pede duas coisas:
- (a) Determinar o valor de
para que a superfície passe pelo ponto . - (b) Descrever geometricamente essa superfície (tipo de superfície, centro e raio, quando for o caso).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão algébrica da superfície está explícita (polinômio quadrático em
igual a ). - Um ponto específico
que deve satisfazer a equação quando escolhermos .
Passo 2
Como a superfície deve passar pelo ponto
, isso significa que ao substituir
na expressão do lado esquerdo, o resultado deve ser igual a
. Ou seja, para achar
basta calcular o valor da expressão para esse ponto e igualar a
. Essa é a forma direta e óbvia de usar a condição “passe pelo ponto”.
Passo 3
Calculemos passo a passo a expressão no ponto
. Substituindo
,
,
em
temos:
e o termo constante é
. Somando tudo:
Portanto o valor da expressão no ponto é
. Igualando a
obtemos
Passo 4
Agora vamos identificar a forma geométrica da superfície para um
genérico — isto ensina como resolver a parte (b). A expressão à esquerda é um polinômio quadrático com termos quadráticos e lineares; o procedimento padrão é completar o quadrado em
,
e
para transformá-lo na forma padrão de uma esfera (se possível).
Completar o quadrado:
Somando essas identidades e incluindo o termo
, obtemos
Calculemos a soma dos termos constantes subtraídos:
Logo
Passo 5
A equação da superfície fica então
ou rearranjando,
Isto é exatamente a forma padrão de uma esfera quando o lado direito é positivo: centro em
e raio
, desde que
. As possibilidades são:
- Se
a superfície é uma esfera de centro e raio . - Se
a superfície reduz-se a um ponto (esfera degenerada) localizado em . - Se
não há pontos reais que satisfaçam a equação (conjunto vazio).
Passo 6
Usando o valor encontrado em (a),
, temos
logo a superfície é uma esfera com centro
e raio
Resposta
A superfície é uma esfera de centro
e raio
.