Para as equações a seguir, diga qual é a ordem e se são não lineares, lineares homogêneas ou lineares não homogêneas. Justifique em cada caso.
u_{x}+e^{y} u_{y}=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede, para a equação
u_{x}+e^{y} u_{y}=x^{2},
que eu diga (1) qual é a ordem da equação e (2) se ela é não linear, linear homogênea ou linear não homogênea. A equação dada é a única informação; não há outras condições fornecidas.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial parcial (EDP)?
  • Ordem é a maior ordem de derivada parcial da função incógnita que aparece na equação.
  • Notação: u_{x}=\partial u/\partial x e u_{y}=\partial u/\partial y são derivadas de primeira ordem.
Na equação dada aparecem somente as derivadas u_{x} e u_{y}, que são de primeira ordem, e não há derivadas de segunda ordem (como u_{xx}, u_{xy}, u_{yy}). Portanto a equação é de ordem 1.

Passo 3

O que significa “linear” para uma EDP de ordem 1?
  • Uma EDP de primeira ordem é linear se a incógnita u e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, somadas e multiplicadas por funções que dependem só das variáveis independentes), sem produtos entre u e suas derivadas, sem potências não-lineares de u ou de u_x,u_y, e sem funções não-lineares de u.
  • A forma geral de uma primeira ordem linear é
a(x,y)\,u_{x}+b(x,y)\,u_{y}+c(x,y)\,u=f(x,y),
onde a,b,c,f dependem só de x e y, não de u.
Agora compare com a equação dada. Pode-se escrevê-la como
1\cdot u_{x}+e^{y}\cdot u_{y}+0\cdot u = x^{2}.
Aqui a(x,y)=1, b(x,y)=e^{y}, c(x,y)=0 e f(x,y)=x^{2}. Todos esses coeficientes dependem apenas de x,y e não de u. Não há termos como u\,u_x ou (u_x)^2. Logo a equação é linear.

Passo 4

Qual a diferença entre linear homogênea e linear não homogênea?
  • Uma EDP linear é dita homogênea se o termo fonte for zero, isto é, se f(x,y)=0 na forma geral. Em outras palavras, homogênea significa que a equação pode ser escrita como L[u]=0, onde L é um operador linear.
  • Se f(x,y)\neq 0, a equação é linear não homogênea (há um termo fonte que não depende de u).
No nosso caso temos f(x,y)=x^{2}, que não é zero (exceto possivelmente em pontos isolados). Portanto a equação é linear não homogênea.

Passo 5

Contraste rápido com exemplos para fixar (pra você não esquecer na prova):
  • Exemplo linear homogêneo de ordem 1: \;u_{x}+u_{y}=0\; (a forma a u_x+b u_y=0).
  • Exemplo linear não homogêneo de ordem 1: \;u_{x}+u_{y}=x\; (tem termo fonte em x).
  • Exemplo não linear: \;u\,u_{x}+u_{y}=0\; ou \;(u_{x})^{2}+u_{y}=0 — nestes aparecem produtos/potências envolvendo u ou suas derivadas, então são não lineares.

Resposta

Ordem: 1
Classificação: linear não homogênea (coeficientes a=1, b=e^{y}, c=0 e termo fonte f=x^{2}).

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