Para as equações a seguir, diga qual é a ordem e se são não lineares, lineares homogêneas ou lineares não homogêneas. Justifique em cada caso.
.
Passo 1
O enunciado pede, para a equação
que eu diga (1) qual é a ordem da equação e (2) se ela é não linear, linear homogênea ou linear não homogênea. A equação dada é a única informação; não há outras condições fornecidas.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial parcial (EDP)?
- Ordem é a maior ordem de derivada parcial da função incógnita que aparece na equação.
- Notação:
e são derivadas de primeira ordem.
Na equação dada aparecem somente as derivadas
e
, que são de primeira ordem, e não há derivadas de segunda ordem (como
,
,
). Portanto a equação é de ordem 1.
Passo 3
O que significa “linear” para uma EDP de ordem 1?
- Uma EDP de primeira ordem é linear se a incógnita
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, somadas e multiplicadas por funções que dependem só das variáveis independentes), sem produtos entre e suas derivadas, sem potências não-lineares de ou de , e sem funções não-lineares de . - A forma geral de uma primeira ordem linear é
onde
dependem só de
e
, não de
.
Agora compare com a equação dada. Pode-se escrevê-la como
Aqui
,
,
e
. Todos esses coeficientes dependem apenas de
e não de
. Não há termos como
ou
. Logo a equação é linear.
Passo 4
Qual a diferença entre linear homogênea e linear não homogênea?
- Uma EDP linear é dita homogênea se o termo fonte for zero, isto é, se
na forma geral. Em outras palavras, homogênea significa que a equação pode ser escrita como , onde é um operador linear. - Se
, a equação é linear não homogênea (há um termo fonte que não depende de ).
No nosso caso temos
, que não é zero (exceto possivelmente em pontos isolados). Portanto a equação é linear não homogênea.
Passo 5
Contraste rápido com exemplos para fixar (pra você não esquecer na prova):
- Exemplo linear homogêneo de ordem 1:
(a forma ). - Exemplo linear não homogêneo de ordem 1:
(tem termo fonte em ). - Exemplo não linear:
ou — nestes aparecem produtos/potências envolvendo ou suas derivadas, então são não lineares.
Resposta
Ordem: 1
Classificação: linear não homogênea (coeficientes ,
,
e termo fonte
).
Classificação: linear não homogênea (coeficientes