Para as equações a seguir, diga qual é a ordem e se são não lineares, lineares homogêneas ou lineares não homogêneas. Justifique em cada caso.
.
Passo 1
O enunciado pede: para a equação
dizer (1) qual é a ordem da equação e (2) se ela é não linear, linear homogênea ou linear não homogênea. As informações dadas são exatamente os termos da equação: aparecem as derivadas
,
e o termo não linear
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Definições essenciais (anotar isso: cai direto na prova).
- Ordem de uma equação diferencial parcial: é a maior ordem de derivada parcial que aparece na equação. Para derivadas mistas conta-se a soma das ordens parciais (por ex.,
é de ordem ). - Linearidade: uma PDE é linear se a função desconhecida
e todas as suas derivadas aparecem só multiplicadas por funções que NÃO dependem de (podem depender apenas das variáveis independentes) e não aparecem termos que sejam produtos, potências ou funções não lineares de . Em outras palavras, escrever a equação na forma onde é um operador linear em . Se e a equação é linear então é linear homogênea; se é linear não homogênea.
Passo 3
Identificar as derivadas que aparecem na equação e suas ordens:
- O termo
é uma derivada parcial de primeira ordem (ordem ). - O termo
é a derivada parcial mista , que tem ordem (dois em e um em ). - O termo
envolve multiplicado por ; não é uma derivada de ordem maior, mas é um termo não linear por ser produto de com sua derivada.
Passo 4
Determinar a ordem da equação:
- Como o maior ordem de derivada presente é a de
, que é , a ordem da equação é .
Passo 5
Analisar linearidade, passo a passo:
- Verificar se todos os termos que envolvem
e suas derivadas aparecem de forma linear (isto é, sem produtos entre e ou suas derivadas, sem potências de , nem funções não lineares de ). - Os termos
e são lineares em : aparecem como coeficientes constantes multiplicando derivadas de . - O termo
é claramente não linear porque é produto da própria função por sua derivada . Isso quebra a linearidade: se e fossem soluções, a soma não é solução por causa dos termos cruzados do produto (veja demonstração curta abaixo).
Demonstração curta do porquê a presença de
impede a superposição: seja
. Então
Mesmo que
e
, sobram os termos
, que em geral não se anulam. Logo a superposição falha e o operador não é linear.
Passo 6
Concluir a classificação:
- A equação é de ordem
. - Como contém o termo não linear
, a equação é não linear. Portanto não se encaixa na classificação de linear homogênea ou linear não homogênea (essas classificações só fazem sentido quando a equação é linear). Observação útil para prova: se o termo fosse removido, ficando , aí sim seria uma equação linear homogênea (RHS igual a zero).
Resposta
Ordem:
Classificação: não linear (não é linear homogênea nem linear não homogênea)
Classificação: não linear (não é linear homogênea nem linear não homogênea)