Para as equações a seguir, diga qual é a ordem e se são não lineares, lineares homogêneas ou lineares não homogêneas. Justifique em cada caso.
u_{t}-u_{x x t}+u u_{x}=0.

Passo 1

O enunciado pede: para a equação
u_{t}-u_{x x t}+u u_{x}=0
dizer (1) qual é a ordem da equação e (2) se ela é não linear, linear homogênea ou linear não homogênea. As informações dadas são exatamente os termos da equação: aparecem as derivadas u_{t}, u_{xxt} e o termo não linear u u_{x}. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Definições essenciais (anotar isso: cai direto na prova).
  • Ordem de uma equação diferencial parcial: é a maior ordem de derivada parcial que aparece na equação. Para derivadas mistas conta-se a soma das ordens parciais (por ex., u_{xxt}=\partial^{3}u/\partial x^{2}\partial t é de ordem 3).
  • Linearidade: uma PDE é linear se a função desconhecida u e todas as suas derivadas aparecem só multiplicadas por funções que NÃO dependem de u (podem depender apenas das variáveis independentes) e não aparecem termos que sejam produtos, potências ou funções não lineares de u. Em outras palavras, escrever a equação na forma L[u]=f onde L é um operador linear em u. Se f\equiv 0 e a equação é linear então é linear homogênea; se f\not\equiv 0 é linear não homogênea.

Passo 3

Identificar as derivadas que aparecem na equação e suas ordens:
  • O termo u_{t} é uma derivada parcial de primeira ordem (ordem 1).
  • O termo u_{x x t} é a derivada parcial mista \dfrac{\partial^{3}u}{\partial x^{2}\partial t}, que tem ordem 3 (dois em x e um em t).
  • O termo u u_{x} envolve u multiplicado por u_{x}; não é uma derivada de ordem maior, mas é um termo não linear por ser produto de u com sua derivada.

Passo 4

Determinar a ordem da equação:
  • Como o maior ordem de derivada presente é a de u_{xxt}, que é 3, a ordem da equação é 3.

Passo 5

Analisar linearidade, passo a passo:
  • Verificar se todos os termos que envolvem u e suas derivadas aparecem de forma linear (isto é, sem produtos entre u e u ou suas derivadas, sem potências de u, nem funções não lineares de u).
  • Os termos u_{t} e -u_{xxt} são lineares em u: aparecem como coeficientes constantes multiplicando derivadas de u.
  • O termo u u_{x} é claramente não linear porque é produto da própria função u por sua derivada u_{x}. Isso quebra a linearidade: se u e v fossem soluções, a soma u+v não é solução por causa dos termos cruzados do produto (veja demonstração curta abaixo).
Demonstração curta do porquê a presença de u u_{x} impede a superposição: seja F[w]=w_{t}-w_{xxt}+w w_{x}. Então
F[u+v]=(u+v)_{t}-(u+v)_{xxt}+(u+v)(u+v)_{x}
= u_{t}+v_{t}-u_{xxt}-v_{xxt}+u u_{x}+u v_{x}+v u_{x}+v v_{x}.
Mesmo que F[u]=0 e F[v]=0, sobram os termos u v_{x}+v u_{x}, que em geral não se anulam. Logo a superposição falha e o operador não é linear.

Passo 6

Concluir a classificação:
  • A equação é de ordem 3.
  • Como contém o termo não linear u u_{x}, a equação é não linear. Portanto não se encaixa na classificação de linear homogênea ou linear não homogênea (essas classificações só fazem sentido quando a equação é linear). Observação útil para prova: se o termo u u_{x} fosse removido, ficando u_{t}-u_{xxt}=0, aí sim seria uma equação linear homogênea (RHS igual a zero).

Resposta

Ordem: 3
Classificação: não linear (não é linear homogênea nem linear não homogênea)

Exercícios relacionados