Obtenha a solução geral das equações a seguir. Em cada caso temos
.
Passo 1
O enunciado dá a derivada parcial de
em relação a
e pede a solução geral
. Informação clara do problema:
- Temos
- A incógnita é a função
. - O objetivo: encontrar a família de todas as funções
que satisfazem essa igualdade (solução geral), sem condições adicionais.
Passo 2
Entendendo o que significa
.
- Por definição,
é a derivada de em relação a mantendo fixo. - Portanto, a equação
diz que, para cada fixo, a variação de quando varia é dada pela função . - Regra prática: se
, então integrando em obtemos , onde é uma “constante” de integração que pode depender de (porque ao integrar em qualquer função que dependa só de tem derivada zero em relação a ).
Passo 3
Aplicando a integração em
ao caso concreto. Integramos termo a termo
em relação a
, lembrando que, ao integrar,
é tratado como constante:
Calcule cada integral:
Portanto a integral geral é
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 4
Verificação rápida (checagem): derivar a solução encontrada em relação a
deve retornar o lado direito dado.
Calcule . Como
derivado em
dá
,
dá
, e
é independente de
(derivada zero), obtemos exatamente
Calcule
logo a solução está correta.
Passo 5
Comentário sobre a função arbitrária
e como se determina numa prova:
- A presença de
é natural porque ao integrar em a “constante” de integração pode depender de . - Se a questão desse uma condição adicional (por exemplo
ou ), bastaria substituir por esse valor e resolver para .
Exemplo rápido: se fosse dado, então substituindo na solução obtém-se , logo e a solução particular seria .
Passo 6
Resumo prático para a prova: ao ver
, integre em
e coloque uma função arbitrária de
como constante de integração. Aqui a integral é simples e segue diretamente.