Obtenha a solução geral das equações a seguir. Em cada caso temos u=u(x, y).
u_{y}=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a derivada parcial de u em relação a y e pede a solução geral u=u(x,y). Informação clara do problema:
  • Temos \displaystyle u_{y}=x^{2}+y^{2}.
  • A incógnita é a função u(x,y).
  • O objetivo: encontrar a família de todas as funções u(x,y) que satisfazem essa igualdade (solução geral), sem condições adicionais.

Passo 2

Entendendo o que significa \displaystyle u_{y}.
  • Por definição, \displaystyle u_{y}(x,y)=\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) é a derivada de u em relação a y mantendo x fixo.
  • Portanto, a equação \displaystyle u_{y}=x^{2}+y^{2} diz que, para cada x fixo, a variação de u quando y varia é dada pela função x^{2}+y^{2}.
  • Regra prática: se \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=g(x,y), então integrando em y obtemos \displaystyle u(x,y)=\int g(x,y)\,dy + C(x), onde C(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x (porque ao integrar em y qualquer função que dependa só de x tem derivada zero em relação a y).

Passo 3

Aplicando a integração em y ao caso concreto. Integramos termo a termo \displaystyle x^{2}+y^{2} em relação a y, lembrando que, ao integrar, x é tratado como constante:
\int (x^{2}+y^{2})\,dy = \int x^{2}\,dy + \int y^{2}\,dy.
Calcule cada integral:
\int x^{2}\,dy = x^{2}y, \qquad \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Portanto a integral geral é
u(x,y)=x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}+C(x),
onde C(x) é uma função arbitrária de x.

Passo 4

Verificação rápida (checagem): derivar a solução encontrada em relação a y deve retornar o lado direito dado.
Calcule \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\!\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}+C(x)\right). Como x^{2}y derivado em y x^{2}, \dfrac{y^{3}}{3} y^{2}, e C(x) é independente de y (derivada zero), obtemos exatamente
u_{y}=x^{2}+y^{2},
logo a solução está correta.

Passo 5

Comentário sobre a função arbitrária C(x) e como se determina numa prova:
  • A presença de C(x) é natural porque ao integrar em y a “constante” de integração pode depender de x.
  • Se a questão desse uma condição adicional (por exemplo \,u(x,0)=\varphi(x)\, ou u(x,y_0)=\psi(x)), bastaria substituir y por esse valor e resolver para C(x).
    Exemplo rápido: se fosse dado u(x,0)=\varphi(x), então substituindo y=0 na solução obtém-se \varphi(x)=C(x), logo C(x)=\varphi(x) e a solução particular seria u(x,y)=x^{2}y+\dfrac{y^{3}}{3}+\varphi(x).

Passo 6

Resumo prático para a prova: ao ver \displaystyle u_{y}= \text{algo}(x,y), integre em y e coloque uma função arbitrária de x como constante de integração. Aqui a integral é simples e segue diretamente.

Resposta

u(x,y)=x^{2}y+\dfrac{y^{3}}{3}+C(x)

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