As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro casos (em todas as equações, x está em metros, t está em segundos, e t>0 ):
a) x(t)=2 cdot t^2
b) x(t)=2-t
c) x(t)=-t+2 cdot t^3
d) x(t)=t-10
Em que caso(s) a velocidade v da partícula é constante?

Passo 1

O exercício pede para a gente olhar quatro funções de posição e descobrir em quais delas a velocidade é constante. O assunto é Cálculo Diferencial (velocidade é derivada da posição) e vamos precisar:
  • Saber o que é derivada (velocidade = ).
  • Usar a regra do poder (se , então ).
  • Lembrar que derivada de constante é zero e de é .

Passo 2

Primeiro, definimos o conceito: a velocidade instantânea é a derivada da posição, isto é
v(t) ;=; dxdt
Quando não depende de (ou seja, é um número fixo), dizemos que a velocidade é constante.

Passo 3

Vamos calcular para cada caso:
a)
  • Derivada pelo poder: .
  • Resultado: , que depende de .
b)
  • Derivada de (constante) é .
  • Derivada de é .
  • Logo, .
c)
  • Derivada de é .
  • Derivada de pela regra do poder: .
  • Logo, , que depende de .
d)
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Logo, .

Passo 4

Agora, a gente identifica quais velocidades são números fixos (não têm na expressão):
  • No caso (b), , constante.
  • No caso (d), , constante.
    Nos outros, varia com .

Resposta

As velocidades são constantes nos casos (b) e (d).

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