Equações vetoriais I. Qualquer equação vetorial pode ser reduzida à forma A= B. (a) A partir disso, mostre que uma equação vetorial é equivalente a d equações escalares, onde d é a dimensionalidade do espaço.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A ideia é mostrar que, quando a gente tem uma equação vetorial do tipo
,
isso na prática vira um “monte” de equações escalares — exatamente delas, onde é o número de dimensões do nosso espaço (por exemplo, 2 no plano, 3 no espaço normal, etc.).
Conteúdo: estamos trabalhando com representação de vetores em uma base e usando o conceito de independência linear.
O que vamos precisar:
  • Saber que todo vetor num espaço de dimensão pode ser escrito em uma base .
  • Entender que a igualdade de vetores significa igualdade componente a componente.
  • Conhecer o teorema da independência linear (se um combo de vetores independentes é zero, então todos os coeficientes são zero).

Passo 2

Primeiro, o que é essa história de “equação vetorial”? Simples: dizer significa que os dois vetores apontam pro mesmo lugar, têm o mesmo comprimento e direção. Agora, pra “quebrar” isso em pedacinhos, a gente vai expressar cada vetor na base .

Passo 3

Escrevendo em componentes, seja
A = A1,e1 + A2,e2 + cdots + Ad,ed e B = B1,e1 + B2,e2 + cdots + Bd,ed
Aqui, e são as coordenadas (componentes escalares) de e na direção de .

Passo 4

Agora, impondo A - B = 0 Longrightarrow l(A1 - B1r)e1 + l(A2 - B2r)e2 + cdots + l(Ad - Bdr)ed = 0 , a gente faz
Ou seja, a soma ponderada desses vetores base dá o vetor nulo.

Passo 5

Aí entra o lance da independência linear: os vetores C1 e1 + C2 e2 + cdots + Cd ed = 0 são independentes, o que significa que a única forma de
A1 - B1 = 0,; A2 - B2 = 0,;dots,; Ad - Bd = 0
é ter . Aplicando isso ao nosso caso, cada coeficiente tem que ser zero:

Resposta

Concluímos que a equação vetorial Ai = Bi, para i = 1,2,dots,d é equivalente às equações escalares

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