Equações vetoriais I. Qualquer equação vetorial pode ser reduzida à forma
B. (a) A partir disso, mostre que uma equação vetorial é equivalente a
equações escalares, onde
é a dimensionalidade do espaço.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A ideia é mostrar que, quando a gente tem uma equação vetorial do tipo
,
isso na prática vira um “monte” de equações escalares — exatamente delas, onde
é o número de dimensões do nosso espaço (por exemplo, 2 no plano, 3 no espaço normal, etc.).
Conteúdo: estamos trabalhando com representação de vetores em uma base e usando o conceito de independência linear.
O que vamos precisar:
isso na prática vira um “monte” de equações escalares — exatamente
Conteúdo: estamos trabalhando com representação de vetores em uma base e usando o conceito de independência linear.
O que vamos precisar:
- Saber que todo vetor num espaço de dimensão
pode ser escrito em uma base . - Entender que a igualdade de vetores significa igualdade componente a componente.
- Conhecer o teorema da independência linear (se um combo de vetores independentes é zero, então todos os coeficientes são zero).
Passo 2
Primeiro, o que é essa história de “equação vetorial”? Simples: dizer
significa que os dois vetores apontam pro mesmo lugar, têm o mesmo comprimento e direção. Agora, pra “quebrar” isso em pedacinhos, a gente vai expressar cada vetor na base
.
Passo 3
Escrevendo em componentes, seja
Aqui,
e
são as coordenadas (componentes escalares) de
e
na direção de
.
Passo 4
Agora, impondo
, a gente faz
Ou seja, a soma ponderada desses vetores base dá o vetor nulo.
Passo 5
Aí entra o lance da independência linear: os vetores
são independentes, o que significa que a única forma de
é ter
. Aplicando isso ao nosso caso, cada coeficiente
tem que ser zero:
Resposta
Concluímos que a equação vetorial
é equivalente às
equações escalares