Um cubo de massa
e de lado a está totalmente submerso na interface entre o óleo e a água.
*Considere que
do seu volume está no óleo, e
do seu volume está na água.
Qual deve ser a densidade do cubo
para que o sistema fique em equilibrio? (
Considere:
e g também são dados do problema.
*Considere que
Qual deve ser a densidade do cubo
Considere:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um cubo totalmente submerso na interface entre óleo e água. 1/3 do volume do cubo está no óleo e 2/3 está na água. A gente precisa descobrir qual a densidade do cubo (ρ₍cubo₎) para que ele fique em equilíbrio nessa posição. Para resolver isso, vamos usar o Princípio de Arquimedes, que fala sobre o empuxo que os líquidos exercem sobre objetos submersos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume total do cubo. Se o lado do cubo é a, então o volume V é:
Passo 3
Agora, vamos determinar os volumes imersos no óleo e na água. Como 1/3 está no óleo e 2/3 na água:
Passo 4
Vamos calcular as forças de empuxo que o óleo e a água exercem no cubo. O empuxo F é dado por:
Onde:
- ρ é a densidade do líquido,
- V é o volume imerso,
- g é a aceleração da gravidade.
Então:
Passo 5
Para que o cubo esteja em equilíbrio, a força total de empuxo deve ser igual ao peso do cubo. O peso do cubo é:
Então, temos:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos cancelar o termo $ a^3 \cdot g $ dos dois lados:
Passo 7
Finalmente, isolamos a densidade do cubo:
Resposta
A densidade do cubo deve ser: