Um cubo de massa m cubo e de lado a está totalmente submerso na interface entre o óleo e a água.
*Considere que 1 / 3 do seu volume está no óleo, e 2 / 3 do seu volume está na água.
Qual deve ser a densidade do cubo rho cubo para que o sistema fique em equilibrio? ( 0 , 2 5 p t s )
Considere: rho agua , rho o<=o e g também são dados do problema.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um cubo totalmente submerso na interface entre óleo e água. 1/3 do volume do cubo está no óleo e 2/3 está na água. A gente precisa descobrir qual a densidade do cubo (ρ₍cubo₎) para que ele fique em equilíbrio nessa posição. Para resolver isso, vamos usar o Princípio de Arquimedes, que fala sobre o empuxo que os líquidos exercem sobre objetos submersos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume total do cubo. Se o lado do cubo é a, então o volume V é:
V = a^3

Passo 3

Agora, vamos determinar os volumes imersos no óleo e na água. Como 1/3 está no óleo e 2/3 na água:
Vó<=o = 13V = 13a^3 ó
Vágua = 23V = 23a^3 á

Passo 4

Vamos calcular as forças de empuxo que o óleo e a água exercem no cubo. O empuxo F é dado por:
F = rho cdot V cdot g
Onde:
  • ρ é a densidade do líquido,
  • V é o volume imerso,
  • g é a aceleração da gravidade.
Então:
Fó<=o = rhoó<=o cdot Vó<=o cdot g = rhoó<=o cdot 13a^3 cdot g óóóó
Fágua = rhoágua cdot Vágua cdot g = rhoágua cdot 23a^3 cdot g áááá

Passo 5

Para que o cubo esteja em equilíbrio, a força total de empuxo deve ser igual ao peso do cubo. O peso do cubo é:
P = mcubo cdot g = rhocubo cdot V cdot g = rhocubo cdot a^3 cdot g
Então, temos:
Fó<=o + Fágua = P óá
Substituindo:
rhoó<=o cdot 13a^3 cdot g + rhoágua cdot 23a^3 cdot g = rhocubo cdot a^3 cdot g óá

Passo 6

Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos cancelar o termo $ a^3 \cdot g $ dos dois lados:
a^3 cdot g óá

Passo 7

Finalmente, isolamos a densidade do cubo:
rhocubo = 13rhoó<=o + 23rhoágua óá

Resposta

A densidade do cubo deve ser:
rhocubo = 13rhoó<=o + 23rhoágua óá

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