Resolver a equação x^{3}-6 x^{2}+11 x-6=0 sabendo que as raízes estão em progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação x^{3}-6x^{2}+11x-6=0 sabendo que as três raízes estão em progressão aritmética.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
1. O polinômio é x^{3}-6x^{2}+11x-6.
2. As três raízes (reais) estão em progressão aritmética (PA).
A tarefa é encontrar essas raízes.

Passo 2

Vamos representar as três raízes que estão em PA. Se as raízes estão em PA, podemos escrevê‑las como (a-d),\,a,\,(a+d), onde a é o termo central e d a razão (diferença) da PA.
Agora recordamos as fórmulas de Viète para um polinômio cúbico monico. Se as raízes são r_{1},r_{2},r_{3} do polinômio
x^{3}+b x^{2}+c x+d,
então, ao expandir (x-r_{1})(x-r_{2})(x-r_{3}), obtemos a identidade
x^{3}-(r_{1}+r_{2}+r_{3})x^{2}+(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})x-r_{1}r_{2}r_{3}.
Comparando coeficientes, temos as relações (estas são as fórmulas de Viète):
r_{1}+r_{2}+r_{3} = -b,
r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3} = c,
r_{1}r_{2}r_{3} = -d.
No nosso polinômio x^{3}-6x^{2}+11x-6 os coeficientes são b=-6,\;c=11,\;d=-6. Portanto:
\text{(soma das raízes)} = -b = -(-6)=6,í
\text{(soma dos produtos dois a dois)} = c = 11,
\text{(produto das três raízes)} = -d = -(-6)=6.êí

Passo 3

Aplique a condição da soma das raízes à nossa parametrização (a-d),\,a,\,(a+d). A soma é
(a-d)+a+(a+d)=3a.
Pela Viète essa soma deve ser 6. Logo
3a=6 \implies a=2.
Portanto o termo central da PA é a=2, e as raízes têm a forma (2-d),\,2,\,(2+d).

Passo 4

Agora usemos a fórmula do produto das raízes (pela Viète): o produto deve ser 6. Calcule o produto das três raízes em função de d:
(2-d)\cdot 2 \cdot (2+d) = 2\bigl((2-d)(2+d)\bigr).
Lembrando da identidade (u-v)(u+v)=u^{2}-v^{2}, temos
(2-d)(2+d)=2^{2}-d^{2}=4-d^{2}.
Logo o produto é
2(4-d^{2})=8-2d^{2}.
Igualando ao valor dado por Viète,
8-2d^{2}=6.
Resolva para d^{2}:
8-2d^{2}=6 \implies 2d^{2}=2 \implies d^{2}=1.
Portanto d=\pm 1.

Passo 5

Com a=2 e d=\pm 1 obtemos as duas configurações (que, na prática, geram o mesmo conjunto de raízes):
  • Para d=1: raízes (2-1),\,2,\, (2+1) que são 1,\,2,\,3.
  • Para d=-1: raízes (2-(-1)),\,2,\, (2+(-1)) que são 3,\,2,\,1.
    Ambas representam o mesmo conjunto de raízes \{1,2,3\}. Para verificar rapidamente, calcule a soma dos produtos dois a dois:
1\cdot2 + 1\cdot3 + 2\cdot3 = 2+3+6=11,
que coincide com o coeficiente c=11, confirmando que a solução está correta.

Resposta

1,\;2,\;3

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