Resolver a equação
sabendo que as raízes estão em progressão aritmética.
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a equação
sabendo que as três raízes estão em progressão aritmética.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O polinômio é
.
As três raízes (reais) estão em progressão aritmética (PA).
A tarefa é encontrar essas raízes.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A tarefa é encontrar essas raízes.
Passo 2
Vamos representar as três raízes que estão em PA. Se as raízes estão em PA, podemos escrevê‑las como
, onde
é o termo central e
a razão (diferença) da PA.
Agora recordamos as fórmulas de Viète para um polinômio cúbico monico. Se as raízes são do polinômio
Agora recordamos as fórmulas de Viète para um polinômio cúbico monico. Se as raízes são
então, ao expandir
, obtemos a identidade
Comparando coeficientes, temos as relações (estas são as fórmulas de Viète):
No nosso polinômio
os coeficientes são
. Portanto:
Passo 3
Aplique a condição da soma das raízes à nossa parametrização
. A soma é
Pela Viète essa soma deve ser
. Logo
Portanto o termo central da PA é
, e as raízes têm a forma
.
Passo 4
Agora usemos a fórmula do produto das raízes (pela Viète): o produto deve ser
. Calcule o produto das três raízes em função de
:
Lembrando da identidade
, temos
Logo o produto é
Igualando ao valor dado por Viète,
Resolva para
:
Portanto
.
Passo 5
Com
e
obtemos as duas configurações (que, na prática, geram o mesmo conjunto de raízes):
- Para
: raízes que são . - Para
: raízes que são .
Ambas representam o mesmo conjunto de raízes. Para verificar rapidamente, calcule a soma dos produtos dois a dois:
que coincide com o coeficiente
, confirmando que a solução está correta.