A equaテァテ」o
y^prime+P(t) y+Q(t) y^2=R(t)
onde as funテァテオes P, Q e R sテ」o contテュnuas em algum intervalo I da reta e Q(t) neq 0 em I, テゥ conhecida como equaテァテ」o de Ricatti. Os itens abaixo dテ」o as diretrizes para se resolver uma equaテァテ」o de Ricatti geral.
(a) Seja phi(t) uma soluテァテ」o particular de (2). Considere a mudanテァa de variテ。vel y=phi+1z. Mostre que essa mudanテァa de variテ。vel transforma
(2) numa equaテァテ」o de primeira ordem linear em z.
(b) Deduza do item (a) que a soluテァテ」o geral de uma equaテァテ」o de Ricatti pode ser encontrada desde que se conheテァa uma soluテァテ」o particular. Explicite tal soluテァテ」o.

Passo 1

O enunciado trata da equação de Riccati
y' + P(t),y + Q(t),y^2 = R(t),
onde P,Q,R são contínuas em um intervalo I e Q(t)neq0 em I. O objetivo do item (a) é mostrar que, dado uma solução particular phi(t), a mudança de variável
y = phi(t) + 1z(t)
converte a equação de Riccati numa equação linear de primeira ordem em z. No item (b) vamos então usar essa transformação para escrever a solução geral de y a partir de phi.

Passo 2

Primeiro calculamos y' sob a mudança y=phi+tfrac1z. Como
y' = phi' + ddtl(tfrac1zr) = phi' - z'z^2,
substituímos y e y' na Riccati:
l(phi' - z'z^2r) +Pl(phi+1zr) +Ql(phi+1zr)^2 =R

Passo 3

Expandindo l(phi+tfrac1zr)^2=phi^2+2phi1z+1z^2 e reorganizando, obtemos
phi' + Pphi + Qphi^2 ;+;l(P+2Qphir)1z ;+;l(Q - z',z^2r) =R
Mas phi é solução particular, logo phi'+Pphi+Qphi^2=R e o termo em destaque se anula com R. Ficamos apenas com
l(P+2Qphir)1z ;+;Q ;-;z'z^2 ;=;0
Multiplicando tudo por z^2
-(z') + (P+2Qphi),z + Q = 0 Long<=ftrightarrow z' - l(P+2Qphir),z = Q,
que é uma equação linear de primeira ordem em z.

Passo 4

Para resolver
z' - a(t),z = Q(t),
onde a(t)=P(t)+2Q(t),phi(t), usamos fator integrante
mu(t)=exp!l(-!!integral a(t),dtr)
Multiplicando a ODE por mu e integrando,
ddtl(mu,zr) = mu,Q Longrightarrow mu(t),z(t) = integral mu(t),Q(t),dt + C
Assim
z(t) = e^integral a(t),dtl[integral Q(t),e^-integral a(t),dt,dt + Cr]

Resposta

A solução geral de Riccati é
y(t) = phi(t) +1,z(t), ;=; phi(t) ;+; 1 ,e^integral!(P+2Qphi),dtl[integral Q,e^-integral!(P+2Qphi),dt,dt + Cr],
onde phi(t) é dada solução particular e C é constante arbitrária.

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