A equaテァテ」o
onde as funテァテオes
e
sテ」o contテュnuas em algum intervalo I da reta e
, テゥ conhecida como equaテァテ」o de Ricatti. Os itens abaixo dテ」o as diretrizes para se resolver uma equaテァテ」o de Ricatti geral.
(a) Seja
uma soluテァテ」o particular de (2). Considere a mudanテァa de variテ。vel
. Mostre que essa mudanテァa de variテ。vel transforma
(2) numa equaテァテ」o de primeira ordem linear em
.
(b) Deduza do item (a) que a soluテァテ」o geral de uma equaテァテ」o de Ricatti pode ser encontrada desde que se conheテァa uma soluテァテ」o particular. Explicite tal soluテァテ」o.
(a) Seja
(2) numa equaテァテ」o de primeira ordem linear em
(b) Deduza do item (a) que a soluテァテ」o geral de uma equaテァテ」o de Ricatti pode ser encontrada desde que se conheテァa uma soluテァテ」o particular. Explicite tal soluテァテ」o.
Passo 1
O enunciado trata da equação de Riccati
onde
são contínuas em um intervalo
e
em
. O objetivo do item (a) é mostrar que, dado uma solução particular
, a mudança de variável
converte a equação de Riccati numa equação linear de primeira ordem em
. No item (b) vamos então usar essa transformação para escrever a solução geral de
a partir de
.
Passo 2
Primeiro calculamos
sob a mudança
. Como
substituímos
e
na Riccati:
Passo 3
Expandindo
e reorganizando, obtemos
Mas
é solução particular, logo
e o termo em destaque se anula com
. Ficamos apenas com
Multiplicando tudo por
dá
que é uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 4
Para resolver
onde
, usamos fator integrante
Multiplicando a ODE por
e integrando,
Assim
Resposta
A solução geral de Riccati é
onde
é dada solução particular e
é constante arbitrária.