(a) (1,5) Mostre que r=2 cdot sen(theta)+2 cdot cos (theta) é um círculo.
(b) (1,5) Determine a área do círculo do item (a) usando a fórmula de área para curvas polares.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos duas partes:
(a) Mostrar que a equação r = 2 cdot sin(theta) + 2 cdot cos(theta) representa um círculo.
(b) Calcular a área desse círculo usando a fórmula de área para curvas polares.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de coordenadas polares e cartesianas, além de entender como converter entre elas e aplicar a fórmula de área em polares.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) e mostrar que a equação dada é de um círculo. Para isso, vamos converter a equação de coordenadas polares para cartesianas.
Sabemos que:
x = r cdot cos(theta) y = r cdot sin(theta)
Vamos substituir r na equação original:
r = 2 cdot sin(theta) + 2 cdot cos(theta)
Multiplicando ambos os lados por r :
r^2 = 2 r cdot sin(theta) + 2 r cdot cos(theta)
Agora, substituindo r cdot sin(theta) por y e r cdot cos(theta) por x :
x^2 + y^2 = 2y + 2x

Passo 3

Agora, temos a equação:
x^2 + y^2 = 2x + 2y
Vamos rearranjar para deixar tudo do lado esquerdo:
x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0
Para deixar a equação na forma de um círculo, vamos completar o quadrado para x e para y .

Passo 4

Completemos o quadrado para x :
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
E para y :
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
Substituindo de volta na equação:
(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 = 0
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 = 0 (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2

Passo 5

A equação final é:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2
Essa é a equação de um círculo com centro em (1, 1) e raio raiz2 . Então, mostramos que a equação dada em coordenadas polares representa um círculo.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) e calcular a área desse círculo usando a fórmula de área para curvas polares. A fórmula é:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Para um círculo completo, vamos integrar de 0 a 2pi . Primeiramente, precisamos elevar a equação r = 2 cdot sin(theta) + 2 cdot cos(theta) ao quadrado.

Passo 7

Calculando r^2 :
r^2 = (2 cdot sin(theta) + 2 cdot cos(theta))^2 = 4 sin^2(theta) + 8 sin(theta)cos(theta) + 4 cos^2(theta)
Podemos simplificar usando identidades trigonométricas.

Passo 8

Usando as identidades:
sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1 2 sin(theta)cos(theta) = sin(2theta)
Substituindo na expressão de r^2 :
r^2 = 4(1) + 4 sin(2theta) = 4 + 4 sin(2theta)

Passo 9

Agora, substituímos r^2 na fórmula da área:
A = 12 integral0^2pi (4 + 4 sin(2theta)) , dtheta = 12 [ integral0^2pi 4 , dtheta + integral0^2pi 4 sin(2theta) , dtheta ]

Passo 10

Calculando cada integral separadamente:
integral0^2pi 4 , dtheta = 4 theta g|0^2pi = 8pi integral0^2pi 4 sin(2theta) , dtheta = -2 cos(2theta) g|0^2pi = -2 (cos(4pi) - cos(0)) = -2(1 - 1) = 0

Passo 11

Então, a área fica:
A = 12 (8pi + 0) = 4pi

Resposta

(a) A equação r = 2 cdot sin(theta) + 2 cdot cos(theta) representa um círculo com centro em (1, 1) e raio raiz2 .
(b) A área desse círculo é 4pi .

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