(a) Mostre que é um círculo.
(b) Determine a área do círculo do item (a) usando a fórmula de área para curvas polares.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos duas partes:
(a) Mostrar que a equação representa um círculo.
(b) Calcular a área desse círculo usando a fórmula de área para curvas polares.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de coordenadas polares e cartesianas, além de entender como converter entre elas e aplicar a fórmula de área em polares.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) e mostrar que a equação dada é de um círculo. Para isso, vamos converter a equação de coordenadas polares para cartesianas.
Sabemos que:
Vamos substituir na equação original:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, substituindo por e por :
Passo 3
Agora, temos a equação:
Vamos rearranjar para deixar tudo do lado esquerdo:
Para deixar a equação na forma de um círculo, vamos completar o quadrado para e para .
Passo 4
Completemos o quadrado para :
E para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 5
A equação final é:
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio . Então, mostramos que a equação dada em coordenadas polares representa um círculo.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) e calcular a área desse círculo usando a fórmula de área para curvas polares. A fórmula é:
Para um círculo completo, vamos integrar de a . Primeiramente, precisamos elevar a equação ao quadrado.