Inverta a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado fornece a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração. Ou seja, preciso descrever a mesma região do plano
com o
variando por um intervalo exterior e
variando internamente, e escrever a integral correspondente.
Informações relevantes dadas:
- A variável externa
varia em . - Para cada
nesse intervalo, varia de até . - A função integranda é
(nenhuma condição extra sobre foi dada, apenas que é integrável na região).
O que se pede:
- Reescrever a integral trocando a ordem de integração (primeiro integrar em
, depois em ), obtendo limites apropriados.
Passo 2
Interpretação geométrica da região de integração. A desigualdade
é equivalente a
Portanto a região
no plano é
Em palavras:
é a porção do plano entre a parábola
e a reta
, com
não negativa.
Passo 3
Determinar a projeção de
no eixo
. Como em
vale
, tem-se necessariamente
, ou seja
. Logo o valor de
varia em
Para um
fixo dentro desse intervalo, os possíveis
em
satisfazem
(pela condição
) e também
. Assim, para cada
temos
Passo 4
Explicação do procedimento para montar a integral na ordem invertida: ao trocar a ordem, o intervalo externo será o conjunto dos
presentes na projeção de
(já achamos
). Para cada
nesse intervalo, o intervalo interno de
vai do menor
presente em
para aquele
até o maior
presente — isto é, de
até
. Assim a integral original é equivalente à integral com
externo e
interno conforme descrito.