Inverta a ordem de integração:
\int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x, y) d x\right] d y

Passo 1

O enunciado fornece a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x, y)\,dx\right]dy
e pede para inverter a ordem de integração. Ou seja, preciso descrever a mesma região do plano (x,y) com o x variando por um intervalo exterior e y variando internamente, e escrever a integral correspondente.
Informações relevantes dadas:
  • A variável externa y varia em [0,1].
  • Para cada y nesse intervalo, x varia de -\sqrt{y} até \sqrt{y}.
  • A função integranda é f(x,y) (nenhuma condição extra sobre f foi dada, apenas que é integrável na região).
O que se pede:
  • Reescrever a integral trocando a ordem de integração (primeiro integrar em y, depois em x), obtendo limites apropriados.

Passo 2

Interpretação geométrica da região de integração. A desigualdade
-\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y}
é equivalente a
x^{2}\le y.
Portanto a região D no plano é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; x^{2}\le y\}.
Em palavras: D é a porção do plano entre a parábola y=x^{2} e a reta y=1, com y não negativa.

Passo 3

Determinar a projeção de D no eixo x. Como em D vale x^{2}\le y\le 1, tem-se necessariamente x^{2}\le 1, ou seja |x|\le 1. Logo o valor de x varia em
-1\le x\le 1.
Para um x fixo dentro desse intervalo, os possíveis y em D satisfazem y\ge x^{2} (pela condição x^{2}\le y) e também y\le 1. Assim, para cada x\in[-1,1] temos
x^{2}\le y\le 1.

Passo 4

Explicação do procedimento para montar a integral na ordem invertida: ao trocar a ordem, o intervalo externo será o conjunto dos x presentes na projeção de D (já achamos x\in[-1,1]). Para cada x nesse intervalo, o intervalo interno de y vai do menor y presente em D para aquele x até o maior y presente — isto é, de y=x^{2} até y=1. Assim a integral original é equivalente à integral com x externo e y interno conforme descrito.

Resposta

\int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{1} f(x,y)\,dy\right]dx

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