Qual o VPL de um investimento que proporciona um rendimento anual de
24.000,00
30.000,00
\mathrm{R} $6.000,00
7 %$ a.a.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perder):
- Receita anual igual a
(recebida uma vez por ano, assumimos ao final de cada ano). - Custo anual igual a
(também anual, assumimos ao final de cada ano). - Valor residual ao final do ano 5 igual a
(recebido no instante ). - Taxa mínima de atratividade (TMA)
a.a. ou .
O que o enunciado pergunta:
- Qual é o VPL (Valor Presente Líquido) desse investimento?
Observação (apenas para clareza): o enunciado não informou um desembolso inicial (investimento inicial). Portanto vou calcular o VPL como o valor presente dos fluxos positivos líquidos (receita menos custo) mais o valor residual. Se houver um desembolso inicial em outra versão do problema, esse valor inicial deve ser subtraído do VPL que eu calcular aqui.
Passo 2
Entendendo o desconto de um único pagamento futuro (fórmula básica):
Quando você recebe uma quantia no futuro, no tempo
(anos) e a taxa de desconto é
por ano, o valor presente
dessa quantia é dado por:
Quando você recebe uma quantia
Explicação das variáveis:
-
é o valor futuro (por exemplo, o residual). -
é a taxa por período (aqui ). -
é o número de períodos até o recebimento (anos).
Esse é o conceito de desconto: converter um valor futuro para o que ele vale hoje, considerando que dinheiro no futuro vale menos que hoje por causa da taxa.
Passo 3
Aplicando a fórmula do desconto ao valor residual:
Temos ,
e
. Primeiro calculamos
:
Temos
A partir daí o fator de desconto é
. Agora aplicamos:
Portanto o valor presente do residual é aproximadamente
.
Passo 4
Entendendo o valor presente de uma série anual (anuidade):
Os fluxos anuais líquidos são receita menos custo:
Os fluxos anuais líquidos são receita menos custo:
Quando temos um pagamento igual
ao final de cada ano durante
anos e uma taxa
, o valor presente dessa anuidade (pagamentos ao final de cada período — anuidade ordinária) é dado por:
Explicando cada símbolo:
-
é o pagamento anual constante (aqui ). -
é o número de anos (aqui ). -
é a taxa anual (aqui ).
Essa fórmula vem da soma de uma progressão geométrica (se quiser eu explico a derivação formal, mas para a prova decorar a fórmula e saber interpretá-la é suficiente).
Passo 5
Calcular o fator da anuidade com os números do problema:
Já temos do passo anterior. Então:
Já temos
Agora multiplicamos pelo pagamento anual
:
Portanto o valor presente dos fluxos anuais líquidos é aproximadamente
.
Passo 6
Somar as partes para obter o VPL (aqui sem considerar um desembolso inicial):
Substituindo os valores calculados:
Logo o VPL do investimento, com os dados fornecidos e sem descontar um desembolso inicial, é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação curta e incentivo:
- Como o VPL é positivo (
), isso indica que os benefícios (descontados) superam os custos, e o projeto gera valor na taxa a.a. - Se na prova aparecer um investimento inicial
, lembre-se de subtrair: .
Você foi bem chegando até aqui — se precisar eu mostro a derivação da fórmula da anuidade passo a passo ou faço com precisão maior de casas decimais.