Qual o VPL de um investimento que proporciona um rendimento anual de \mathrm{R} \ 24.000,00 tem um valor residual ao final de 5 anos no valor de30.000,00 e nos proporciona um custo anual de\mathrm{R} $6.000,00 se tivermos uma TMA de7 %$ a.a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perder):
  • Receita anual igual a \mathrm{R}\$\,24.000,00 (recebida uma vez por ano, assumimos ao final de cada ano).
  • Custo anual igual a \mathrm{R}\$\,6.000,00 (também anual, assumimos ao final de cada ano).
  • Valor residual ao final do ano 5 igual a \mathrm{R}\$\,30.000,00 (recebido no instante t=5).
  • Taxa mínima de atratividade (TMA) i = 7\% a.a. ou i=0,07.
O que o enunciado pergunta:
  • Qual é o VPL (Valor Presente Líquido) desse investimento?
Observação (apenas para clareza): o enunciado não informou um desembolso inicial (investimento inicial). Portanto vou calcular o VPL como o valor presente dos fluxos positivos líquidos (receita menos custo) mais o valor residual. Se houver um desembolso inicial em outra versão do problema, esse valor inicial deve ser subtraído do VPL que eu calcular aqui.

Passo 2

Entendendo o desconto de um único pagamento futuro (fórmula básica):
Quando você recebe uma quantia F no futuro, no tempo t (anos) e a taxa de desconto é i por ano, o valor presente PV dessa quantia é dado por:
PV = \frac{F}{(1+i)^t}
Explicação das variáveis:
  • F é o valor futuro (por exemplo, o residual).
  • i é a taxa por período (aqui i=0,07).
  • t é o número de períodos até o recebimento (anos).
    Esse é o conceito de desconto: converter um valor futuro para o que ele vale hoje, considerando que dinheiro no futuro vale menos que hoje por causa da taxa.

Passo 3

Aplicando a fórmula do desconto ao valor residual:
Temos F = \mathrm{R}\$\,30.000,00, i=0,07 e t=5. Primeiro calculamos (1+i)^5:
(1+i)^1 = 1,07
(1+i)^2 = 1,07^2 = 1,1449
(1+i)^3 = 1,07^3 = 1,225043
(1+i)^4 = 1,07^4 = 1,31079501
(1+i)^5 = 1,07^5 \approx 1,40255066
A partir daí o fator de desconto é (1+i)^{-5} \approx 0,712986. Agora aplicamos:
PV_{\text{residual}} = \frac{30.000}{1{,}07^{5}} \approx 30.000 \times 0{,}712986 \approx 21.389{,}58
Portanto o valor presente do residual é aproximadamente \mathrm{R}\$\,21.389{,}58.

Passo 4

Entendendo o valor presente de uma série anual (anuidade):
Os fluxos anuais líquidos são receita menos custo:
\text{Fluxo anual líquido} = 24.000 - 6.000 = 18.000.í
Quando temos um pagamento igual A ao final de cada ano durante n anos e uma taxa i, o valor presente dessa anuidade (pagamentos ao final de cada período — anuidade ordinária) é dado por:
PV_{\text{anuidade}} = A \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}
Explicando cada símbolo:
  • A é o pagamento anual constante (aqui A=\mathrm{R}\$\,18.000).
  • n é o número de anos (aqui n=5).
  • i é a taxa anual (aqui i=0,07).
    Essa fórmula vem da soma de uma progressão geométrica (se quiser eu explico a derivação formal, mas para a prova decorar a fórmula e saber interpretá-la é suficiente).

Passo 5

Calcular o fator da anuidade com os números do problema:
Já temos (1+i)^{-5} \approx 0{,}712986 do passo anterior. Então:
\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} = \frac{1 - 0{,}712986}{0{,}07} = \frac{0{,}287014}{0{,}07} \approx 4{,}1002
Agora multiplicamos pelo pagamento anual A=\mathrm{R}\$\,18.000:
PV_{\text{anuidade}} = 18.000 \times 4{,}1002 \approx 73.803{,}60
Portanto o valor presente dos fluxos anuais líquidos é aproximadamente \mathrm{R}\$\,73.803{,}60.

Passo 6

Somar as partes para obter o VPL (aqui sem considerar um desembolso inicial):
VPL = PV_{\text{anuidade}} + PV_{\text{residual}}
Substituindo os valores calculados:
VPL \approx 73.803{,}60 + 21.389{,}58 = 95.193{,}18
Logo o VPL do investimento, com os dados fornecidos e sem descontar um desembolso inicial, é aproximadamente \mathrm{R}\$\,95.193{,}18.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo:
  • Como o VPL é positivo ( \mathrm{R}\$\,95.193{,}18 > 0), isso indica que os benefícios (descontados) superam os custos, e o projeto gera valor na taxa 7\% a.a.
  • Se na prova aparecer um investimento inicial I_0, lembre-se de subtrair: VPL_{\text{real}} = VPL - I_0.
    Você foi bem chegando até aqui — se precisar eu mostro a derivação da fórmula da anuidade passo a passo ou faço com precisão maior de casas decimais.

Resposta

\mathrm{R}\$\,95.193{,}18

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